Ce este analiza matematica ?

Analiza matematica se ocupa cu vitezele instantanee de variatie – cat de repede variaza o anumita cantitate chiar in acest moment ? Ca sa luam un exemplu fizic: un tren se deplaseaza pe o cale ferata; cat de repede se misca el chiar acum? Analiza matematica are doua ramuri principale:calculul diferential si calculul integral.

Calculul diferential ofera metode de calcul al vitezelor de variatie si are numeroase aplicatii geometrice, in particular gasirea tangentelor la curbe. Calculul integral procedeaza invers: data fiind viteza de variatie a unei anumite cantitati, el determina cantitatea insasi. Intre aplicatiile geometrice ale calculului integral se numara calculul ariilor si volumelor. Poate ca cea mai semnificativa descoperire e aceasta neasteptata conexiune intre doua probleme de geometrie clasica aparent fara legatura: determinarea tangentelor la curba si determinarea ariilor.

Inventarea analizei matematice

Inventarea analizei matematice a fost rezultatul cercetarilor anterioare legate de probleme aparent disparate, dar avand o unitate ascunsa. Printre ele se numara calculul vitezei instantanee a unui obiect in miscare cunoscand distanta parcursa de el la orice moment de timp, gasirea tangentei la o curba, gasirea lungimii unei curbe, gasirea valorilor maxima si minima ale unei cantitati variabile, gasirea ariei unei figuri plane si a volumului unui corp tridimensional.Anumite idei si exemple importante au fost aduse de Fermat, Decartes si un englez mai putin cunoscut, Isaac Barrow, dar metodele erau valabile doar pentru probleme particulare. Se simtea nevoia unei metode generale.

Principalii creatori ai analizei matematice au fost Gottfried Wilhelm Leibniz si Isaac Newton

Newton a copilarit la o ferma din satucul Woolsthorpe din Lincolnshire.Tatal lui murise cu doua luni inainte de nasterea sa iar mama lui administra ferma.A invatat la scoala din localitate , fara sa dovedeasca alt talent decat indemanarea in manevrarea jucariilor mecanice. O data a construit un balon cu aer cald si l-a testat cu pisica familiei drept pilot; nici balonul, nici pisica n-au mai fost vazute vreodata. A intrat la Trinity College din Cambridge, cu rezultate destul de bune la examenul de admitere – in afara geometriei.Ca student, n-a facut mare impresie in primii ani de studiu.

Apoi in 1665, marea ciuma a inceput sa devasteze Londra si zonele invecinate, iar studentii au fost trimisi acasa inainte ca acelasi lucru sa se intample la Cambridge. Intors la ferma familiala, Newton a inceput sa mediteze mult mai profund la temele stiintifice si matematice.

Gravitatia

In anii 1665-1666 a conceput legea gravitatiei pentru a explica miscarea planetelor,a elaborat legile mecanicii pentru a explica si analiza miscarea oricarui corp sau particule, a inventat atat calculul diferential, cat si cel integral si a facut mari progrese in optica. Ca de obicei, nu-si publica nici una din lucrari, intorcandu-se linistit la Trinity pentru a-si lua licenta si a fi ales fellow al colegiului.
A obtinut apoi postul de profesor lucasian de matematica, dupa demisia din 1669 a predecesorului sau, Barrow.

Gottfried Wilhelm Leibniz si Isaac Newton au fost creatorii analizei matematice .
Doi dintre prietenii sai, Isaac Barow si Edmond Halley, I-au recunoscut remarcabilele inzestrari si l-au incurajat sa-si publice rezultatele.Lui Newton nu-i placea sa fie criticat, iar cand , in 1672, si-au publicat ideile despre lumina, lucrarea sa a declansat o furtuna de critici, ceea ce i-a accentuat retinerea de a-si incredinta gandurile tiparului.A continuat totusi sa publice sporadic si a scris doua carti.Si-a dus mai departe ideile despre gravitatie, iar in 1684 Halley a incercat sa-l convinga sa-si publice rezultatele.Dar pe langa aversiunea lui Newton fata de critica mai exista un obstacol tehnic.

Fusese nevoit sa modeleze planetele ca particule punctiforme, cu masa nenula, dar cu volumul nul, ceea ce el simtea ca este nerealist si va va provoca obiectii.Ar fi vrut sa inlocuiasca punctele nerealiste prin sfere pline, dar nu putea demonstra ca atractia gravitationala a unei sfere e aceeasi cu cea a unei particule punctiforme de aceeasi masa.
In 1686 a reusit sa umple aceasta lacuna, iar Principia a vazut lumina tiparului in 1687. Lucrarea continea multe idei noi.Cele mai importante erau legile matematice ale miscarii, extinzand rezultatele lui Galilei, si gravitatia, bazata pe legile gasite de Kepler.

Principala lege de miscare a lui Newton (mai exista si altele) spune ca acceleratia unui corp aflat in miscare inmultita cu masa lui este egala cu forta care actioneaza asupra corpului.viteza este derivata spatiului, iar acceleratia este derivata vitezei.
Legea gravitatiei spune ca toate particulele de materie se atrag reciproc cu o forta proportionala cu masele lor si invers proportionala cu patratul distantei dintre ele. De exemplu, forta cu care Pamantul este atras de Luna ar deveni de patru ori mai mica daca luna ar fi impinsa la o distanta de doua ori mai mare, sau de noua ori mai mica daca distanta s-ar tripla.Din nou, deoarece legea se refera la forte, ea implica derivata a doua a spatiului.
Newton a dedus aceasta lege din cele trei legi ale miscarii planetare stabilite de Kepler.

Deducerea publicata de el era o capodopera de geometrie euclidiana clasica.Newton a ales acest stil de prezentare deoarece el implica o matematica familiara, si deci nu era usor de criticat.Dar mai multe aspecte atinse in Principia isi datoreaza geneza inventiei newtoniene inca nepublicate a analizei matematice.
Unul dintre primele sale studii pe aceasta tema a fost o lucrare intitulata Asupra analizei prin intermediul ecuatiilor cu un numar infinit de termeni , pe care a prezentat-o catorva prieteni in 1669. In limbaj modern, el se intreba care este ecuatia unei functii f (x), daca aria de sub graficul ei este de forma x.
In 1671 a scris un tratat extins, Metoda fluxiunilor si a seriilor infinite .Prima sa carte de analiza matematica a fost publicata in 1711;a doua a aparut in 1736.E limpede ca pe la 1671 Newton ajunsese la ideile fundamentale ale analizei matematice.
Criticii acestui procedeu, in special episcopul George Berkley in cartea sa din 1734, Analistul, discurs adresat unui matematician necredincios, au aratat ca este ilogic sa imparti numaratorul si numitorul la 0,daca ulterior 0 este adus la O.
Intr-adevar, procedeul ascunde faptul ca fractia este in realitate 0/0, fractie ce nu are sens.

La ce ne ajuta analiza matematica

Una dintre primele aplicatii ale calculului diferential si integral pentru intelegerea fenomenelor naturale a fost legata de problema formei unui lant lasat sa atarne.
Unii matematicieni credeau ca raspunsul este o parabola, altii nu erau de acord.In 1691 Leibniz, Christian Huygens si Bernoulli au publicat fiecare cate o propunere de solutie .Cea mai clara era a lui Bernoulli. El a scris o ecuatie diferentiala care descria pozitia lantului, bazata pe mecanica newtoniana si pe legile de miscare ale lui Newton.
S-a dovedit ca solutia nu era o parabola, ci o curba numita lantisor. Cablurile podurilor suspendate sunt insa parabolice. Diferenta apare deoarece aceste cabluri sustin atat greutatea podului, cat si propria lor greutate. Si acest lucru poate fi demonstrat folosind calculul diferential.
Ecuatiile diferentiale sunt omniprezente in stiinta: sunt de departe mijlocul cel mai raspandit de modelare a sistemelor naturale. Se folosesc, de pilda, pe larg pentru a calcula traiectoriile sondelor spatiale, cum ar fi misiunea Mariner catre Marte, cele doua nave Pioneer care au explorat sistemul solar si ne-au transmis imagini atata de minunate ale planetelor Jupiter, Saturn, Uranus si Neptun, sau vehiculele robot cu sase roti Spirit si Opportunity, care au cercetat Planeta Rosie.
Misiunea Cassini, care exploreaza planeta Saturn si satelitii ei, este un alt exemplu.Intre descoperirile

ei se numara existenta lacurilor de metan si etan lichid pe satelitul Titan al lui Saturn. Desigur, calculul diferential nu e unica tehnica folosita de misiunile spatiale – dar fara el aceste nave n-ar fi fost niciodata lansate.
Dintr-o perspectiva mai practica, orice avion care zboara,orice automobil care parcurge un drum, orice pod suspendat si orice constructie rezistenta la cutremure isi datoreaza partial proiactarea calculului diferential. Pana si descrierea modului in care variaza numeric populatiile de animale provine din ecuatiile diferentiale.Acelasi lucru este valabil pentru raspandirea epidemiilor,unde modulele analitice sunt folosite pentru a planifica cea mai eficienta cale de a interveni si de a impiedica o raspandire dezastruoasa.Un model recent pentru epidemia de febra aftoasa in Marea Britanie a dovedit ca strategia adoptata nu era optima.

Daca ti-a placut acest articol, daca doresti sa afli mai multe despre cursurile de dezvoltare personala si meditatii la matematica , cum te pot ajuta si de ce sunt utile , astept un mesaj pe email.:contact@meditatii.eu.
Inscrie-te la newsletter, vei primi informatii utile si oferte speciale, dedicate numai celor care se aboneaza.
„Citat din: Imblanzirea Infinitului de Ian Stewart”