Geometrie si Trigonometrie

Geometria coordonatelor in zilele noastre

Coordonatele sunt una dintre acele idei simple care au influentat puternic viata de zi cu zi.Le folosim pretutindeni, de regula fara sa ne dam seama. Practic toata grafica pe calculator foloseste un sistem de coordonate intern, iar geometria care apare pe ecran e determinata algebric. O operatie simpla cum e rotirea unei fotografii digitale cu cateva grade, pentru ca linia orizontului sa fie la orizontala, se bazeaza pe geometria coordonatelor.
Sensul profund al geometriei coordonatelor tine de interconexiunile din matematica.Notiuni ale caror transpuneri fizice par fara legatura intre ele pot fi aspecte diferite aled aceluiasi lucru.
Aparentele pot fi inselatoare. Mare parte din eficacitatea matematicii ca mijloc de a intelege universul provine din capacitatea ei de a adapta ideile, transferandu-le dintr-un domeniu al stiintei in altul.Matematica este esentiala in transferul de tehnologie. Interconexiunile pe care le-am descoperit in ultimii 4000 de ani fac din matematica un domeniu unic si unitar.

La ce i-au ajutat coordonatele

Geometria coordonatelor poate fi folosita pentru suprafete mai complicate decat planul, cum ar fi sfera.Cele mai obisnuite coordonate de pe sfera sunt longitudinea si latitudinea.Astfel cartografierea si folosirea hartilor de navigatie pot fi considerate aplicatii ale geometriei coordonatelor.
Principala problema de navigatie a unui capitan era determinarea latitudinii si longitudinii vasului sau . Aflarea latitudinii e destul de usoara, deoarece unghiul la care se afla Soarele deasupra orizontului depinde de latitudine si poate fi tabelat. Din 1730, instrumentul standard pentru gasirea latitudinii a fost sextantul (pe care acum GPS-ul l-a scos din uz).Acesta a fost inventat de Newton, care insa nu l-a facut public, si in mod independent de matematicianul englez John Hadley si de inventatorul american Thomas Godfrey. Navigatorii folosisera inainte astrolabul, care provenea din Arabia medievala.
Longitudinea este mai greu de aflat.Problema a fost rezolvata in cele din urma prin construirea unui ceas foarte precis, care era potrivit dupa ora locala la inceputul calatoriei. Ora rasaritului si cea a apusului, precum si miscarile Lunii si ale stelelor depind de longitudine, facand astfel posibila determinarea longitudinii prin compararea orei locale cu cea indicata de ceas.Povestea inventarii cronometrului de catre John Harrison, care a rezolvat astfel problema, este relatata in cartea lui Dava Sobel Longitudinea.

La ce ne ajuta coordonatele

Noi contribuim sa folosim coordonatele pentru cartografiere, dar o alta aplicatie obisnuita a geometriei coordonatelor se intalneste la bursa, unde fluctuatiile unor preturi sunt inregistrate sub forma unei curbe. Cantitati uriase de date stiintifice si financiare sunt inregistrate in acest fel.

Daca ti-a placut acest articol, daca doresti sa afli mai multe despre cursurile de dezvoltare personala si meditatii la matematica , cum te pot ajuta si de ce sunt utile , astept un mesaj pe email.:contact@meditatii.eu.
Inscrie-te la newsletter, vei primi informatii utile si oferte speciale, dedicate numai celor care se aboneaza.

„Citat din: Imblanzirea Infinitului de Ian Stewart”

Un patrulater se numeste patrulater convex daca prelungind oricare dintre laturi toate celelalte sunt situate de aceeasi parte a ei.

       Suma masurilor unghiurilor unui patrulater convex este egala cu 360 grade.

Tipuri de patrulatere convexe:

1.Paralelogramul: Este patrulaterul convex care are laturile opuse paralele.

Proprietati:

-laturile opuse sunt congruente;
-unghiurile opuse sunt congruente;
-unghiurile alaturate sunt suplementare (suma masurilor este de 180 grade);
-diagonalele se injumatatesc;

Perimetrul paralelogramului este egal cu suma lungimilor laturilor:

P=AB+BC+CD+AD

dar stim ca AB = CD si AD = BC prin urmare

P = 2 (AB + BC)

Aria paralelogramului este egala cu produsul dintre o latura si innaltimea corespunzatoare ei.

A = AB X DE

2.Dreptunghiul: Este paralelogramul cu un unghi drept.

Proprietati:

-laturile opuse sunt congruente;
-toate unghiurile sunt drepte;
-diagonalele sunt congruente si se injumatatesc;

Perimetrul dreptunghiului este : P = 2 (AB+BC)

Aria dreptunghiului ABCD este egala cu produsul dintre AB si BC.

Rombul: Este paralelogramul cu doua laturi consecutive congruente.

Proprietati:

-toate laturile sunt congruente;
-unghiurile opuse sunt congruente;
-diagonalele sunt perpendiculare,se injumatatesc;
-diagonalele sunt bisectoarele unghiurilor rombului;

Perimetrul rombului este egal cu suma lungimilor laturilor.

P = 4 L

Aria rombului este jumatate din produsul diagonalelor :

A=AC X BD : 2

Patratul: Este rombul cu un unghi drept, sau dreptunghiul cu doua laturi consecutive congruente.

Proprietati:

– toate laturile sunt congruente
– toate unghiurile sunt drepte
– diagonalele sunt perpendiculare
– diagonalele sunt congruente, se injumatatesc, sunt bisectoare pentru unghiurile patratului

P = 4 L

Aria: A = L X L

Trapezul: Este patrulaterul convex care are doua laturi neparalele.

Clasificare:

a)Trapez isoscel: laturile neparalele sunt congruente

b)Trapez dreptunghic: una din laturile neparalele este perpendiculara pe baza

Intr-un trapez isoscel unghiurile alaturate unei baze sunt congruente.
Intr-un trapez isoscel diagonalele sunt congruente.
Segmentul care uneste mijloacele laturilor neparalele se numeste linie mijlocie a trapezului. Lungimea acesteia este egala cu semisuma bazelor.

Perimetrul trapezului este egal cu suma lungimilor laturilor:

P=AB+BC+CD+AD

Daca ti-a placut acest articol, daca doresti sa afli mai multe despre cursurile de dezvoltare personala si meditatii la matematica , cum te pot ajuta si de ce sunt utile , astept un mesaj pe email.:contact@meditatii.eu.
Inscrie-te la newsletter, vei primi informatii utile si oferte speciale, dedicate numai celor care se aboneaza.

Dupa lungimea laturilor triunghiurile se impart in:

a) Triunghi oarecare – Este triunghiul cu laturile de lungimi diferite. Se mai numeste scalen.
b) Triunghi isoscel – Este triunghiul cu doua laturi congruente
c)Triunghi echilateral – Este triunghiul cu toate laturile egale.

Dupa masura unghiurilor triunghiurile se impart in:

a)Dreptunghice -sunt triunghiurile cu un unghi drept.
b)Obtuzunghice-sunt triunghiurile cu un unghi obtuz
c)Ascutitunghice-sunt triunghiurile cu toate unghiurile ascutite.

Triunghiul isoscel:

Principalele proprietati ale triunghiului isoscel:

a)Inaltimea corespunzatoare bazei este bisectoare,mediana,mediatoare.
b)Unghiurile alaturate bazei sunt congruente.
c)Inaltimile si medianele corespunzatoare laturilor congruente sunt congruente.
d)Bisectoarele unghiurilor alaturate bazei sunt congruente.

Triunghiul echilateral:

Principalele proprietati ale triunghiului echilateral:

a)Toate unghiurile sunt congruente:fiecare cu masura de 60 grade;
b)Bisectoarele coincid cu medianele,inaltimile si mediatoarele (cele care pornesc din acelasi varf).

Congruenta triunghiurilor:

Criteriile de congruenta ale triunghiurilor sunt:

1. L.U.L (latura-unghi-latura):Doua triunghiuri oarecare care au cate doua laturi si unghiurile cuprinse intre ele respectiv congruente sunt congruente.

2.U.L.U (unghi-latura-unghi):Doua triunghiuri oarecare care au cate o latura si unghiurile alaturate ei respectiv congruente sunt congruente.

3.L.L.L (latura-latura-latura):Doua triunghiuri oarecare care au laturile respectiv congruente sunt congruente.

4.L.U.U (latura-unghi-unghi):Doua triunghiuri oarecare care au cate o latura,unghiul opus si un unghi alaturat ei, respectiv congruente sunt congruente.

Ce spune?

Care este relatia dintre cele trei laturi ale unui triunghi dreptunghic.

De ce este importanta?

Realizeaza o legatura vitala intre geometrie si algebra,care ne permite sa calculam distantele in termeni de coordonate. De asemenea, a inspirat trigonometria.

La ce anume a condus?

Topografie, navigatie si mai recent, la relativitatea speciala si generala – cele mai bune teorii din momentul actual referitoare la spatiu, timp si gravitatie.

Daca ii ceri oricarui elev sa-ti spuna numele unui matematician celebru si presupunand ca ar fi auzit de vreunul, cel mai des va opta pentru Pitagora.Daca nu este posibil sa ii vina in minte Arhimede. Pana si ilustrului Isaac Newton ii ramane pozitia de vioara a doua in fata acestor superstaruri ale lumii antice.Arhimede a fost un gigant intelectual si Pitagora probabil ca nu a fost, insa merita mai mult credit decat i se acorda adeseori. Nu pentru ce a realizat, ci pentru ce a pus in miscare.

Pitagora s-a nascut pe insula greceasca Samos, in estul Marii Egee, in jurul anului 570 I.Hr.A fost filozof si geometru.Putinul pe care il cunoastem despre viata lui provine de la autori mult mai recenti si acuratetea istorica a acestor cunostinte este indoielnica, dar evenimentele cheie probabil ca sunt corecte.In jurulanului 530 I.HR s-a mutat la Crotona, o colonie greceasca din Italia.Aici a fondat un cult filosofico-religios, pitagoricienii, care credeau ca universul se bazeaza pe numere.
Faima actuala a fondatorului acestui cult se bazeaza pe teorema care ii poarta numele.Este predata de peste 2000 de ani si a intrat in cultura populara. Filmul Merry Andrew din anul 1958, avandu-l in rolul principal pe Danny Kaye, are pe coloana sonora un cantec ale carui versuri incep astfel:

Patratul ipotenuzei
unui triunghi dreptunghic
Este egal cu
Suma patratelor
Celorlalte doua laturi

Teorema lui Pitagora apare intr-o binecunoscuta gluma cu niste calambururi groaznice despre baba calare pe hipopotam.Gluma poate fi gasita la tot pasul pe internet, dar mai greu este de descoperit de unde a aparut.Exista desene animate cu Pitagora, tricouri si un timbru grecesc.
Dar sarind peste toata aceasta tevatura,nu avem nici cea mai mica idee daca Pitagora si-a demonstrat vreodata teorema.De fapt, nu stim nici macar daca chiar a fost teorema lui.Putea foarte bine sa fie descoperita de vreun favorit al lui Pitagora sau de un scrib babilonian sau sumerian. Insa Pitagora s-a bucurat de merite si numele lui a prins.

Indiferent care ii sunt originile, teorema si consecintele ei au avut un impact urias asupra istoriei omenirii.Literalmente ne-a deschis lumea.

Daca ti-a placut acest articol, daca doresti sa afli mai multe despre cursurile de dezvoltare personala si meditatii la matematica , cum te pot ajuta si de ce sunt utile , astept un mesaj pe email.:contact@meditatii.eu.
Inscrie-te la newsletter, vei primi informatii utile si oferte speciale, dedicate numai celor care se aboneaza.

„Citat din: 17 ecuatii care au schimbat lumea de Ian Stewart”