Comentarii recente

    No menu selected

    Archive: octombrie 2017

    Arhimede din Siracusa- cel mai mare matematician al Antichitatii

    9 octombrie 2017
    Roxana Iancu
    No comments
    Categories: Articole, Matematicieni

    287 – 212 I.Cr

    Arhimede s-a nascut la Siracusa,fiind fiul astronomului Phidias. A vizitat Egiptul unde se presupune ca a inventat surubul arhimedic , folosit pana de curand, pentru a ridica apa Nilului pentru irigatii. L-a vizitat probabil pe Euclid la Alexandria;coresponda fara indoiala cu matematicienii din Alexandria.
    Marele sau talent matematic a fost multilateral.
    L-a folosit si in scopuri practice, construind masinarii de razboi gigantice, bazate pe “legea parghiei” enuntata de el, care puteau azvarli asupra inamicilor pietroaie uriase.
    Masinariile au fost folosite cu succes cand romanii au asediat Siracusa in 212 I. Cr.El a folosit chiar si geometria reflectiei optice pentru a focaliza razele soarelui asupra flotei romane invadatoare, incendiind corabiile.
    Cartile ramase de la el (doar sub forma de copii ulterioare) sunt Despre echilibrele planurilor, Cvadratura parabolei, Despre sfera si cilindru, Despre spirale, Despre conoizi si sferoizi, Despre plutirea corpurilor,Masurarea cercului si Clepsidra,precum si Metoda,descoperita in 1906 de Johan Heiberg.

    Arhimede a fost cel mai mare matematician al Antichitatii. El a avut contributii importante in geometrie, s-a aflat in avangarda aplicarii matematicii la lumea naturala si a fost inginer desavarsit.Dar el va ramane mereu in amintirea matematicienilor pentru  lucrarea sa despre cercuri, sfere si cilindri, pe care acum o asociem cu numarul pi aproximativ egal cu 3,14159. Desigur grecii nu lucrau direct cu numarul pi ei il reprezentau geometric ca raportul dintre circumferinta cercului si diametrul sau.
    Culturile mai vechi intelesesera ca circumferinta cercului este intotdeauna acelasi multiplu al diametrului sau si ca acest multiplu este aproximativ 3, poate putin mai mare. Babilonienii foloseau 3 1/8. Dar Arhimede a mers mult mai departe; rezultatele sale erau insotite de demonstratii riguroase, in spiritul lui Eudoxiu.
    Din cate stiau grecii, raportul dintre lungimea cercului si diametrul sau putea fi irational.Stim acum ca asa este , dar demonstratia a fost data abia in 1770 de Johann Heinrich Lambert.(Valoarea de 3 1/7, predata in scoli,e convenabila,dar aproximativa).Din moment ce Arhimede nu a reusit sa demonstreze ca pi e rational, el a trebuit sa accepte ca s-ar putea sa nu fie.
    Geometria greaca opera cel mai bine cu poligoane – figuri alcatuite din linii drepte. Dar cercul este curb,asa incat Arhimede l-a studiat folosind poligoane care sa-l aproximeze. Pentru a estima valoarea lui pi,el a comparat perimetrul cercului cu perimetrele a doua serii de poligoane:o seria situata in interiorul cercului,iar cealalta in exterior. Perimetrele poligoanelor din interiorul cercului trebuie sa fie mai mici decat cercul,in timp ce perimetrele celor din exterior trebuie sa fie mai mari.Pentru a usura calculele, Arhimede si-a trasat poligoanele sectionand repetat unghiurile unui hexagon regulat (poligon cu sase laturi) si obtinand astfel poligoane regulate cu 12,24,48 de laturi etc.
    S-a oprit la cel cu 96 de laturi. Calculele sale au demonstrat ca 3 10/71<pi<3 1/7; Adica pi se situeaza undeva intre 3,1408 si 3,1429, conform notatiei zecimale actuale.
    Studiile lui Arhimede asupra sferei prezinta un interes deosebit,deoarece cunoastem atat demonstratia sa riguroasa,cat si calea prin care a descoperit-o categoric neriguroasa. Demonstratia apare in cartea sa Despre sfera si cilindru.

    Daca ti-a placut acest articol, daca doresti sa afli mai multe despre cursurile de dezvoltare personala si meditatii la matematica , cum te pot ajuta si de ce sunt utile , astept un mesaj pe email.:contact@meditatii.eu.
    Inscrie-te la newsletter, vei primi informatii utile si oferte speciale, dedicate numai celor care se aboneaza.

     

    „Citat din: Imblanzirea Infinitului de Ian Stewart”

     

    Logaritmii

    8 octombrie 2017
    Roxana Iancu
    No comments
    Categories: Algebra si Analiza Matematica, Articole

    Logaritmii

    log xy = log x + log y

    Ce spun ?

    Cum se inmultesc numerele,nu prin operatia de inmultire, ci prin adunarea unor numere asociate.

    De ce este important ?

    Adunarea este mult mai simpla decat inmultirea.

    La ce au condus?

    Metode eficiente pentru calculul fenomenelor astronomice cum ar fi eclipsele si orbitele planetelor. Moduri rapide de efectuare a calculelor stiiin tifice.Partenerul credincios al inginerului,rigla de calcul.Dezintegrarea radioactiva si psihofizica perceptiei umane.

    Numerele isi au originea in probleme practice:consemnarea proprietatilor, cum ar fi animalele sau terenurile si a tranzactiilor financiare, cum ar fi impozitele si tinerea contabilitatii. Cea mai veche notare a numerelor, in afara semnelor pe raboj de genul IIII, se gaseste pe exteriorul plicurilor din lut.In anul 8 000 I.Hr.,contabilii din Mesopotamia tineau registre folosind tablite din lut de diferite forme.
    Arheologul Denise Schmandt-Besserat si-a dat seama ca fiecare forma reprezinta o marfa de baza – o sfera pentru grane, un ou pentru un vas de ulei si asa mai departe.Din motive de siguranta,aceste marturii scrise erau sigilate in invelitori din lut.Dar era complicat sa spargi o invelitoare din lut ca sa afli cate marturii erau inchise inauntru, asa ca acesti contabili ai Antichitatii zgariau simboluri pe exteriorul invelitorilor pentru a indica ce se afla inauntru.In cele din urma, si-au dat seama ca, avand aceste simboluri,puteau sa inscriptioneze marturiile.Rezultatul a fost o serie de simboluri scrise pentru numere-originea tuturor celorlalte simboluri numerice ulterioare si,posibil,chiar a scrisului.
    Odata cu numerele,a aparut si aritmetica:metode de adunare,scadere,inmultirea si impartirea numerelor.Pentru adunare au fost folosite dispozitive cum ar fi abacul;pe urma, rezultatele puteau fi consemnate prin simboluri.Dupa un timp,au fost gasite caile pentru folosirea simbolurilor fara sa mai fie necesara asistenta mecanica,desi abacul este folosit in continuare la scara larga in multe colturi ale lumii in vreme ce calculatoarele electronice au inlocuit calculele cu creionul pe hartie in majoritatea celorlalte tari.
    Aritmetica s-a dovedit a fi esentiala si din alte puncte de vedere, in special in astronomie si topografie.Pe masura ce au inceput sa apara elementele de baza ale stiintelor fizice,oamenii de stiinta novici au fost obligati sa efectueze calcule si mai complicate, cu mana.Adeseori acestea le ocupau cea mai mare parte a timpului, uneori luni sau ani intregi,afectandu-le activitatile mai creative. In cele din urma,accelerarea procesului a devenit esentiala.au fost inventate nenumarate dispozitive mecanice,dar pasul cel mai important a fost unul conceptual:gandeste mai intai si calculeaza pe urma. Folosindu-se de matematica inteligenta,calcule dificile puteau fi efectuate cu mult mai usor.
    Noua matematica a capatat curand o viata proprie,dovedindu-se a avea implicatii profunde atat teoretice,cat si practice. In zilele noastre,aceste idei timpurii au devenit un instrument indispensabil pentru stiinta in ansamblul ei,ajungand pana si in psihologie si in stiintele umaniste.au fost larg utilizate pana in anii 1980,cand computerele le-au facut desuete pentru scopurile practice,dar,in ciuda acestui fapt,importanta lor pentru matematica si stiinta a continuat sa creasca.
    Ideea de baza este o tehnica matematica numita logaritm.Inventatorul ei este un lord scotian,insa a fost nevoie de un profesor de geometrie,deosebit de preocupat de navigatie si astronomie,pentru inlocuirea ideii stralucite, dar incomplete a mosierului, cu una mult mai buna.

    In luna martie 1615, Henry Briggs I-a trimis o scrisoare a lui James Usser, in care este consemnat un eveniment crucial in istoria stiintei:

    ” Nappre, lord de Markinston,mi-a pus mainile si capul la munca cu noii si admirabilii logaritmi. Sper sa-l vad in aceasta vara,daca este voia lui Dumnezeu ,caci nu am vazut niciodata o carte care sa-mi faca mai multa placere sau care sa ma faca sa ma minunez mai mult.”

    Briggs a fost primul profesor de geometrie de la Colegiul Gresham din Londra iar “Napper, lord de Markinston” a fost John Napier, al optulea lord de Merchiston,mosie care actalmente face parte din orasul Edinburgh din Scotia.Napier pare sa fi fost cam mistic;avea preocupari teologice deosebite,dar acestea se concentrau mai mult asupra Apocalipsei. Din punctul lui de vedere, cea mai importanta lucrare apartinandu-i a fost A Plaine Discovery of the Whole Revelation of St. John – Dezvaluire limpede a revelatiei Sfantului Ioan in intregul ei, care l-a condus la anticiparea sfarsitului lumii ori in 1688,ori in 1700.Se crede ca se ocupa atat de alchimie,cat si de necromatie si preocuparile sale legate de ocultism I-au conferit reputatia de magician.Potrivit zvonurilor,purta la el un paianjen negru intr-o cutie mica oriunde s-ar fi dus si avea companion ”familiar” sau magic:un cocos negru.
    Potrivit unuia dintre descendentii lui, Mark Napier, John isi folosea companionul familiar pentru a-i prinde pe servitorii care furau.Ii inchidea pe suspecti intr-o incapere cu cocosul si le dadea instructiuni sa ii mangaie,spunandu-le ca pasarea vrajita putea sa-l detecteze pe vinovat fara gres.Insa misticismul lui Napier avea un miez rational,care in aceasta imprejurare particulara presupunea acoperirea cocoselului cu un strat subtire de negru fum.Servitorul nevinovat avea toata increderea sa mangaie pasarea potrivit instructiunilor si s-ar fi murdarit pe maini.Unul vinovat,temandu-se sa nu fie dovedit,ar fi evitat sa mangaie pasarea.Si astfel,in mod ironic,mainile curate dovedeau vinovatia.
    Napier si-a dedicat mare parte din timp matematicii si in special metodelor de iutire a rezolvarii calculelor matematice complicate.Una din inventiile lui, riglele lui Napier, era constituita din zece riglete pe care erau marcate numere,care simplificau procesul inmultirilor lungi.Si mai valoroasa a fost inventia care i-a conferit reputatie si a creat o revolutie stiintifica: nu a sa carte despre Apocalipsa, cum sperase, ci alta, intitulata Mirificii Logarithmorum Canonis Descriptio -Descrierea minunatului canon al logaritmilor, din anul 1614.Prefata arata ca Napier a stiut exact ce descoperise si la ce anume era utila inventia lui.
    In momentul in care a aflat de logaritmi, Briggs a fost incantat. Asemenea multor matematicieni din epoca sa, petrecuse foarte mult timp efectuand calcule astronomice.Stim acest lucru deoarece intr-o alta scrisoare trimisa de Briggs lui Usser,datata din 1610, se mentioneaza calcularea eclipselor si pentru ca Briggs publicase anterior doua carti de tabele numerice,unul avand legatura cu Polul Nord si celalalt cu navigatia.Toate aceste lucrari ii impusesera un volum mare de calcule complicate,aritmetice si trigonometrice.Inventia lui Napier putea sa scuteasca de o foarte mare parte de munca plictisitoare.Dar cu cat a studiat mai mult cartea,cu atat Briggs a venit cu o imbunatatire simpla,dar eficienta si a facut o calatorie lunga, pana in Scotia.Cand s-au aflat fata in fata, “aproape un sfert de ora s-a scurs,fiecare privindu-l pierdut in admiratie pe celalalt,inainte sa se rosteasca vreun cuvant”.
    Ce anume a provocat o asemenea admiratie ? Observatia vitala,evidenta pentru oricine invata aritmetica, era ca adunarea numerelor este relativ simpla,insa inmultirea nu. Inmultirea cere mai multe operatii aritmetice decat adunarea. De exemplu adunarea a doua numere de cate zece cifre presupune zece pasi simpli, insa inmultirea necesita 200. Chiar si pentru computerele moderne e o problema importanta dar este ascunsa in culise, in algoritmii folositi pentru inmultire.
    Briggs a identificat aceasta problema si si-a dat seama cum sa o rezolve: sa foloseasca o baza putin mai mare decat 1. De asemenea, a sesizat si o problema mai subtila si s-a ocupat si de ea. Daca metoda lui Napier ar fi fost modificata sa fie aplicabila pentru valorile puterilor unui numar de genul 1,0000000001, nu ar fi existat nicio legatura directa intre logaritmii numerelor 12,3456 si 1,23456.Prin urmare,nu era prea clar unde putea sa se opreasca tabelul. Sursa problemei era valoarea pentru log 10, pentru ca:

    Log 10x = log 10 + log x

    Si asa a inceput istoria logaritmului in baza 10.

    Daca ti-a placut acest articol, daca doresti sa afli mai multe despre cursurile de dezvoltare personala si meditatii la matematica , cum te pot ajuta si de ce sunt utile , astept un mesaj pe email.:contact@meditatii.eu.
    Inscrie-te la newsletter, vei primi informatii utile si oferte speciale, dedicate numai celor care se aboneaza.

    „Citat din: 17 ecuatii care au schimbat lumea de Ian Stewart”

    Sfaturi pentru abordarea problemelor de geometrie (Cl. V-VIII)

    7 octombrie 2017
    Roxana Iancu
    No comments
    Categories: Articole, Metode rezolvare probleme matematica

    Recomandam elevilor sa inceapa rezolvarea unor probleme privind concluzia (adica ceea ce se cere) si punandu-si intrebarea:”Cum arata acest lucru?” sau “Cum aflu ceea ce cere ?”.

    Regasiti mai jos cateva raspunsuri la aceste intrebari:

    1.Cum demonstram ca doua drepte sunt paralele ?

    a)Aratand (prin reducere la absurd) ca, desi sunt coplanare,nu au puncte comune.
    b)Aratand ca sunt paralele cu a treia dreapta (tranzitivitatea).
    c)Aratand ca sunt coplanare si ca formeaza cu o secanta o pereche de unghiuri alterne interne, alterne externe sau corespondente congruente sau o pereche de unghiuri interne de aceeasi parte a secantei sau externe de aceeasi parte a secantei suplementare.
    d)Aratand ca sunt perpendiculare pe acelasi plan.
    e)Folosind reciproca teoremei lui Thales.

    2.Cum demonstram ca o dreapta este paralela cu un plan ?

    a)Aratand (prin reducere la absurd ca nu are puncte comune cu planul.
    b)Aratand ca este paralela cu o dreapta inclusa in plan.
    c)Aratand ca este inclusa intr-un plan paralel cu cel initial.

    3.Cum demonstram ca doua plane sunt parlele ?

    a)Aratand (prin reducere la absurd) ca nu au puncte comune.
    b)Aratand ca unul dintre ele contine doua drepte concurente, paralele cu celalalt.
    c)Aratand ca sunt paralele cu al treilea plan.

    4.Cum demonstram ca o dreapta este perpendiculara pe alta dreapta ?

    a)Aratand ca formeaza intre ele un unghi drept.
    b)Aratand ca una dintre ele este perpendiculara pe un plan ce o contine pe cealalta.
    c)Folosind teorema celor trei perpendiculare sau prima sa reciproca.

    5.Cum demonstram ca o dreapta este perpendiculara pe un plan ?

    a)Aratand ca este perpendiculara pe doua drepte concurente, incluse in plan.
    b)Aratand ca este paralela cu o dreapta perpendiculara pe plan.
    c)Folosind a doua reciproca a teoremei celor trei perpendiculare.

    6.Cum demonstram ca doua plane sunt perpendiculare ?

    a)Aratand ca unul dintre ele contine o dreapta perpendiculara pe celalalt plan.
    b)Aratand ca masura unghiului diedru al planelor este de 90 grade.

     

    7.Cum aflam lungimea unui segment sau distanta de la un punct la o dreapta?

    a) Folosind teorema lui Thales.
    b)Folosind teorema fundamentala a asemanarii.
    c)Folosind cazurile de asemanare a triunghiurilor.
    d)Folosind teorema catetei,inaltimii sau teorema lui Pitagora.
    e)Folosind formula inaltimii corespunzatoare ipotenuzei in triunghiul dreptunghic.
    f)Folosind teorema bisectoarei.
    g)Folosind teorema unghiului de 30 de grade in triunghiul dreptunghic.
    h)Folosind rapoarte trigonometrice (sinus, cosinus, tangenta, cotangenta).

    Daca ti-a placut acest articol, daca doresti sa afli mai multe despre cursurile de dezvoltare personala si meditatii la matematica , cum te pot ajuta si de ce sunt utile , astept un mesaj pe email.:contact@meditatii.eu.
    Inscrie-te la newsletter, vei primi informatii utile si oferte speciale, dedicate numai celor care se aboneaza.

    Teorema lui Pitagora

    6 octombrie 2017
    Roxana Iancu
    No comments
    Categories: Articole, Geometrie si Trigonometrie

    Ce spune?

    Care este relatia dintre cele trei laturi ale unui triunghi dreptunghic.

    De ce este importanta?

    Realizeaza o legatura vitala intre geometrie si algebra,care ne permite sa calculam distantele in termeni de coordonate. De asemenea, a inspirat trigonometria.

    La ce anume a condus?

    Topografie, navigatie si mai recent, la relativitatea speciala si generala – cele mai bune teorii din momentul actual referitoare la spatiu, timp si gravitatie.

    Daca ii ceri oricarui elev sa-ti spuna numele unui matematician celebru si presupunand ca ar fi auzit de vreunul, cel mai des va opta pentru Pitagora.Daca nu este posibil sa ii vina in minte Arhimede. Pana si ilustrului Isaac Newton ii ramane pozitia de vioara a doua in fata acestor superstaruri ale lumii antice.Arhimede a fost un gigant intelectual si Pitagora probabil ca nu a fost, insa merita mai mult credit decat i se acorda adeseori. Nu pentru ce a realizat, ci pentru ce a pus in miscare.

    Pitagora s-a nascut pe insula greceasca Samos, in estul Marii Egee, in jurul anului 570 I.Hr.A fost filozof si geometru.Putinul pe care il cunoastem despre viata lui provine de la autori mult mai recenti si acuratetea istorica a acestor cunostinte este indoielnica, dar evenimentele cheie probabil ca sunt corecte.In jurulanului 530 I.HR s-a mutat la Crotona, o colonie greceasca din Italia.Aici a fondat un cult filosofico-religios, pitagoricienii, care credeau ca universul se bazeaza pe numere.
    Faima actuala a fondatorului acestui cult se bazeaza pe teorema care ii poarta numele.Este predata de peste 2000 de ani si a intrat in cultura populara. Filmul Merry Andrew din anul 1958, avandu-l in rolul principal pe Danny Kaye, are pe coloana sonora un cantec ale carui versuri incep astfel:

    Patratul ipotenuzei
    unui triunghi dreptunghic
    Este egal cu
    Suma patratelor
    Celorlalte doua laturi

    Teorema lui Pitagora apare intr-o binecunoscuta gluma cu niste calambururi groaznice despre baba calare pe hipopotam.Gluma poate fi gasita la tot pasul pe internet, dar mai greu este de descoperit de unde a aparut.Exista desene animate cu Pitagora, tricouri si un timbru grecesc.
    Dar sarind peste toata aceasta tevatura,nu avem nici cea mai mica idee daca Pitagora si-a demonstrat vreodata teorema.De fapt, nu stim nici macar daca chiar a fost teorema lui.Putea foarte bine sa fie descoperita de vreun favorit al lui Pitagora sau de un scrib babilonian sau sumerian. Insa Pitagora s-a bucurat de merite si numele lui a prins.

    Indiferent care ii sunt originile, teorema si consecintele ei au avut un impact urias asupra istoriei omenirii.Literalmente ne-a deschis lumea.

    Daca ti-a placut acest articol, daca doresti sa afli mai multe despre cursurile de dezvoltare personala si meditatii la matematica , cum te pot ajuta si de ce sunt utile , astept un mesaj pe email.:contact@meditatii.eu.
    Inscrie-te la newsletter, vei primi informatii utile si oferte speciale, dedicate numai celor care se aboneaza.

    „Citat din: 17 ecuatii care au schimbat lumea de Ian Stewart”

    Euclid din Alexandria si primul tratat de geometrie ‘Elementele’

    5 octombrie 2017
    adminMPP
    No comments
    Categories: Articole, Matematicieni

    Cel mai cunoscut geometru grec, desi probabil nu si cel mai original, a fost Euclid din Alexandria.El a realizat o ampla sinteza, iar tratatul sau de geometrie, Elementele, a devenit un bestseller al tuturor timpurilor. Euclid a scris cel putin zece tratate de matematica,dar numai cinci s-au pastrat – toate fiind copii ulterioare, iar unele partiale. Nu avem textele originale din Grecia antica.Cele cinci tratate euclidiene ramase sunt: Elementele, Impartirea figurilor, Datele, Fenomenele si Optica.

    Elementele sunt capodopera geometrica a lui Euclid si ofera o tratare completa a geometriei in doua dimensiuni (planul) si in trei dimensiuni (spatiul).

    Impartirea figurilor si Datele contin diverse adaugiri si comentarii la geometrie.

    Fenomenele e destinata astronomilor si se ocupa de geometria sferica, geometria figurilor de pe suprafata unei sfere. Optica este de asemenea o lucrare de geometrie si poate fi considerata ca o prima abordare a geometriei perspectivei – felul in care ochiul omenesc transforma o scena tridimensionala intr-o imagine bidimensionala.

    Probabil ca intelegem cel mai bine contributia lui Euclid examinand logica relatiilor spatiale.Daca o forma are anumite proprietati, acestea pot implica in mod logic alte proprietati. De exemplu, daca un triunghi are toate cele trei laturi egale(se numeste triunghi echilateral) atunci toate cele trei unghiuri trebuie sa fie egale. Acest tip de afirmatie, insirand anumite presupuneri si enuntand apoi consecintele lor logice,se numeste teorema.Aceasta teorema particulara leaga o proprietate a laturilor triunghiului de o proprietate a unghiurilor sale.Un exemplu mai putin intuitiv, dar mai celebru,este Teorema lui Pitagora.

    Elementele se impart in 13 carti, intr-o succesiune logica.Ele prezinta geometria in plan si unele aspecte ale geometriei in spatiu. Punctul culminant e demonstratia ca exista exact cinci corpuri regulate: tetraedrul, cubul, octoedrul,dodecagonul si icosaedrul. Formele de baza permise in geometria plana sunt liniile drepte si cercurile, adesea combinate – de exemplu, un triunghi este alcatuit din trei linii drepte.In geometria in spatiu mai intalnim plane,cilindri si sfere.
    Pentru matematicienii moderni,cel mai interesant lucru in geometria lui Euclid nu este continutul ei,ci structura logica.Spre deosebire de inanitasi,Euclid se multumeste sa afirme ca o teorema e adevarata.

    El da o demonstratie.

    Ce este o demonstratie? E un fel de poveste matematica, in care fiecare pas e consecinta logica a unor pasi anteriori.Fiecare afirmatie facuta trebuie sa fie justificata prin raportarea ei la afirmatii precedente si prin dovedirea faptului ca e o consecinta logica a lor. Euclid si-a dat seama ca acest procedeu nu regresa la infinit:el trebuie sa inceapa de undeva, iar acele afirmatii initiale nu pot fi demonstrate altminteri procesul demonstratiei ar incepe din alt punct.

    Euclid a inceput prin a insirui un numar de definitii:enunturi clare, precise privind intelesul anumitor termeni tehnici, cum sunt dreapta sau cercul.O definitie tipica e, de exemplu, “un unghi obtuz este un unghi mai mare decat unghiul drept”. Definitiile i-au oferit terminologia de care avea nevoie pentru a-si enunta afirmatiile nedemonstrate, pe care le-a clasificat in doua categorii:idei comune si postulate.O idee comuna tipica este:’lucrurile care sunt egale cu acelasi lucru sunt egale intre ele”. Un postulat tipic este toate unghiurile drepte sunt egale intre ele”.

    In prezent, noi am contopit aceste categorii si le-am numit axiome.

    Axiomele unui sistem matematic sunt presupunerile de baza pe care le facem despre ele.Consideram axiomele drept regulile jocului si insistam ca jocul sa se desfasoare conform acestor reguli.Nu ne mai intrebam daca regulile sunt adevarate – nu mai credem ca se poate juca doar un singur joc. Cine vrea sa joace acel joc trebuie sa accepte regulile; daca n-o face, e liber sa joace alt joc, dar el va fi diferit de cel determinat de acele reguli particulare.

    Pe vremea lui Euclid,si timp de inca aproape 2000 de ani,matematicienii nu gandeau deloc asa.In genere,ei considerau axiomele drept adevaruri de la sine intelese,atat de evidente,incat nimeni nu se puea indoi de ele. Astfel Euclid a facut tot posibilul pentru ca toate axiomele sale sa fie evidente-si aproape ca a reusit.Dar una dintre axiome, cea “a paralelelor”, e extrem de complicata si neintuitiva, iar multi au incercat s-o deduca prin presupuneri mai simple.Vom vedea mai tarziu la ce descoperiri remarcabile a condus aceasta.

    Daca ti-a placut acest articol, daca doresti sa afli mai multe despre cursurile de dezvoltare personala si meditatii la matematica , cum te pot ajuta si de ce sunt utile , astept un mesaj pe email.:contact@meditatii.eu.
    Inscrie-te la newsletter, vei primi informatii utile si oferte speciale, dedicate numai celor care se aboneaza.
    „Citat din Imblanzirea Infinitului de Ian Stewart”

    Matematica a inceput cu numerele – Istoria numerelor (inceputurile)

    3 octombrie 2017
    adminMPP
    No comments
    Categories: Algebra si Analiza Matematica, Articole

    Matematica a inceput cu numerele, iar numerele sunt si astazi esentiale, chiar daca subiectul se limiteaza la calcule numerice. Construind pe baza numerelor notiuni tot mai sofisticate, matematica a devenit un domeniu vast si divers al gandirii umane, trecand mult dincolo de ce ceea ce gasim intr-o programa scolara. Matematica actuala se ocupa mai mult de structura, configuratie si forma decat de numere ca atare.
    Metodele ei sunt foarte generale,deseori abstracte. Aplicatiile ei cuprind stiinta, industria, comertul – ba chiar si artele.
    Matematica este universala si atotprezenta.

    La inceput au fost numerele

    De-a lungul a mii de ani, matematicieni din culturi diferite au creat o vasta suprastructura intemeiata pe numere:geometria, analiza, sistemele dinamice, probabilitatile, topologia, haosul, complexitatea etc. Mathematical Reviews, care tine evidenta fiecarei noi publicatii de matematica, clasifica subiectul in aproape o suta de domenii mari, subimpartite in cateva mii de specialitati. In lume exista peste 50 000 de matematicieni implicati in cercetare, care publica in fiecare an peste un milion de pagini de matematica noua, adica nu doar mici variatiuni asupra unor rezultate existente.
    Numerele par foarte simple si accesibile, dar aparentele sunt inselatoarem. Matematicienii au sondat si fundamentul logic al domeniului lor, descoperind concepte mai profunde decat numerele – logica matematica,teoria multimilor.Dar, inca o data, principala motivatie,punctul din care izvorasc toate celelalte, este conceptul de numar.
    Numerele par foarte simple si accesibile, dar aparentele sunt inselatoare.Calculele cu numere pot fi dificile;obtinerea numarului corect poate fi anevoioasa.Dar chiar si in acest caz e mult mai usor sa te folosesti de numere decat sa explici semnificatia lor. Numerele socotesc lucruri, dar nu sunt lucruri, deoarece poti apuca doua cani, dar nu poti apuca numarul ”doi”.Numerele sunt notate prin simboluri,dar culturi diferite folosesc simboluri diferite pentru acelasi numar.Numerele sunt abstracte, dar societatea noastra se bazeaza pe ele si nu ar functiona fara ele.Numerele sunt un anumit tip de constructie mentala, si totusi ne dam seama ca si-ar pastra semnificatia chiar daca omenirea ar disparea intr-o catastrofa globala si nu ar mai ramane nici o minte care sa mediteze la ele.

    Scrierea numerelor

    Istoria matematicii a inceput odata cu inventarea simbolurilor scrise care desemneaza numerele.
    Sistemul nostru bine-cunoscut de reprezentare a tuturor numerelor posibile, oricat de mari, prin ”cifrele” 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 constituie o inventie relativ recenta;ea a aparut acum circa 1500 de ani, iar extinderea sa la ”zecimale”, care ne permit sa reprezentam numerele cu mare precizie,nu este mai veche de 450 de ani.Calculatoarele, care au intiparit calculul matematic atata de adanc in cultura noastra, incat aproape ca nu-i mai sesizam prezenta,ne insotesc de doar 50 de ani,iar calculatoarele suficient de puternice si rapide spre a fi folosite acasa si la serviciu s-au raspandit acum vreo 20 de ani.
    In absenta numerelor, civilizatia actuala nu ar fi putut exista.
    Dar cum a aparut de fapt aceasta enorma industrie numerica?Totul a inceput cu mici semne din lut, in urma cu zece mii de ani, in Orientul Apropiat.
    Inca de atunci,socotitorii tineau evidenta a ceea ce poseda fiecare si in ce cantitate-desi nu se inventase scrisul si nu existau simboluri pentru numere.In loc de simboluri,acei contabili din vechime foloseau mici semne din lut.
    Cu trecerea timpului, semnele au devenit mai complicate si mai specializate.Au aparut conuri decorate pentru reprezentarea painilor si forme fatetate pentru ce a vedrelor de bere.Ele constituiauprimul pas catre simbolurile numerice,aritmetica si matematica.Dar acel prim pas a fost destul de straniu si pare sa fi fost facut la intamplare.
    Totul s-a datorat faptului ca semnele erau folosite pentru a tine evidenta,poate pentru plata impozitelor sau ca dovada juridica a proprietatii.Avantajul semnelor era ca socotitorii le puteau aranja rapid in grupuri,pentru a afla cate animale sau cat grau detinea sau datora o anumita persoana.
    Dezavantajul era acela ca semnele puteau fi falsificate.Astfel, pentru a se asigura ca nimeni nu are acces la ele,socotitorii le-au invelit in lut-de fapt, un fel de sigilii.ei puteau afla imediat cate semne se aflau in fiecare invelis si de ce tip,deschizandu-l.
    Apoi faceau un nou invelis pentru a le pastra in continuare.
    S-a dovedit insa ca operatiunea de a reinnoi periodic invelisul pentru ai vedea continutul era destul de anevoioasa, astfel incat functionarii din Mesopotamia antica au gasit o solutie mai buna.ei au screjelit simboluri pe acele invelisuri,reprezentand semnele continute.Daca in interior se aflau sapte sfere,ei desenau sapte cercuri pe suprafata lutului umed.
    La un moment dat, functionarii mesopotamieni si-au dat seama ca,odata ce aveau simbolurile de pe invelis,continutul nu mai erade fapt necesar,astfel incat nu mai trebuiau sa spargainvelisul pentru a-l vedea.Acest pas evident, dar crucial a dus la crearea unui set de simboluri scrise pentru numere,avand forme diferite pentru fiecare tip de bunuri.Toate celelalte simboluri numerice,inclusiv cele folosite in zilele noastre,sunt descendentele intelectuale ale acestei inventii birocratice antice.
    De fapt, inlocuirea semnelor prin simboluri s-ar putea sa fi constituit nasterea scrierii.

    Daca ti-a placut acest articol, daca doresti sa afli mai multe despre cursurile de dezvoltare personala si meditatii la matematica , cum te pot ajuta si de ce sunt utile , astept un mesaj pe email.:contact@meditatii.eu.
    Inscrie-te la newsletter, vei primi informatii utile si oferte speciale, dedicate numai celor care se aboneaza.

    „Citat din Imblanzirea Infinitului de Ian Stewart”

    Matematica n-a aparut dintr-odata

    2 octombrie 2017
    adminMPP
    No comments
    Categories: Articole, Dezvoltare Personala

    Matematica n-a aparut dintr-odata. Ea s-a dezvoltat prin efortul cumulat al mai multor oameni, apartinand mai multor culturi si vorbind limbi diferite. Idei matematice care sunt folosite si azi dateaza de peste 4000 de ani.

    Multe descoperiri umane sunt efemere, proiectarea rotilor carelor a fost foarte importanta in Noul Regat Egiptean, dar astazi nu este chiar o tehnologie de varf.

    Matematica, dimpotriva, dainuie de regula. Odata facuta o descoperire matematica, oricine o poate folosi, iar astfel capata o viata proprie. Ideile matematice bune rareori se demodeaza,desi aplicarea lor se poate schimba spectaculos. Metodele de rezolvare a ecuatiilor descoperite de vechii babilonieni,sunt folosite si astazi. Noi nu mai folosim tipul lor de notatie dar legatura istorica este incontestabila. De fapt cea mai mare parte a matematicii predate in scoala dateaza de cel putin 200 de ani.Aparitia in programa scolara a matematicii ”moderne”, in anii ’60, a adus-o pana in secolul al IX-lea. Dar, in ciuda aparentelor, matematica n-a stagnat. In prezent,se creeaza in fiecare saptamana mai multa matematica decat au reusit babilonienii in 2000 de ani.

    Dezvoltarea civilizatiei umane si dezvoltarea matematicii au mers mana in mana. Fara descoperirile grecesti, arabe si indiene din trigonometrie, navigatia in largul oceanului ar fi fost o intreprindere si mai aventuroasa decat a fost atunci cand marii navigatori au ajuns pe toate continentele. Drumurile comerciale dintre China si Europa sau dintre Indonezia si cele doua Americi au fost calauzite de un fir matematic invizibil.

    Societatea actuala nu ar putea functiona fara matematica. Practic tot ce intra in peisajul nostru cotidian, de la televiziune la telefoane mobile, de la la avioanele de mare capacitate cu reactie la sistemele de navigatie prin satelit, de la bordul masinilor, la mersul trenurilor la scanerele medicale, se bazeaza pe idei si metode matematice. Uneori matematica implicata e veche de mii de ani, alteori a fost descoperita cu o saptamana in urma. Cei mai multi dintre noi nici nu -si dau seama ca ea este mereu prezenta, actionand in culise pentru a face cu putinta miracolele tehnologiei moderne.

    Lucrul acesta e regretabil, fiindca ne face sa credem ca tehnologia functioneaza prin magie si ne asteptam la noi minuni in fiecare zi .Pe de alta parte e absolut firesc: vrem sa folosim aceste miracole cu cat mai multa usurinta si cu cat mai putina bataie de cap. Daca fiecare pasager ar trebui sa treaca un examen de trigonometrie inainte de a urca la bordul unui avion, putini dintre noi ar parasi vreodata solul. Iar daca astfel s-ar reduce toate emisiile de carbon, lumea noastra ar deveni totodata foarte mica si provinciala.

    A scrie o istorie a matematicii cu adevarat inteligibila este practic imposibil. Subiectul este acum atat de vast de complicat si de tehnic, incat chiar si pentru un specialist o asemenea carte ar fi de necitit ca sa nu mai vorbim ca nimeni nu ar putea sa o scrie. Morris Kline a incercat s-o faca in monumentala sa lucrare ‘Gandirea Matematica in Antichitate pana in epoca moderna’.Cartea are peste 1200 de pagini si omite aproape tot ce s-a intamplat in ultima suta de ani.

    In articolele viitoare voi incerca sa prezint o istorie a catorva elemente si personalitati importante din matematica.

    “Citat din Imblanzirea Infinitului de Ian Stewart”