Comentarii recente

    No menu selected

    Archive: noiembrie 2017

    Ce a facut fiecare Bernoulli?

    30 noiembrie 2017
    Roxana Iancu
    No comments
    Categories: Articole, Matematicieni

    Familia elvetiana Bernoulli a avut o imensa influenta asupra dezvoltarii matematicii.De-a lungul a patru generatii,membrii ei au avut contributii importante atat in matematica pura,cat si in cea aplicata.Prezentati adesea ca o mafie a matematicii,membfrii familiei Bernoulli si-au inceput carierele in drept, medicina sau teologie,pentru a deveni ulterior matematicieni profesionisti sau amatori.
    Multe notiuni matematice poarta numele de Bernoulli. In locul unor detalii biografice,iata un rezumat a ce a facut fiecare.

    Jacob I (1654-1705)

    Coordonatele polare, formula pentru raza de curbura a unei curbe plane.Curbe speciale,precum lantisorul si lemniscata.
    A demonstrat ca o izocrona (o curba de-a lungul careia un corp va cadea cu o viteza verticala uniforma) este o cicloida inversata.
    S-a ocupat de figurile izoperimetrice,care au cea mai mica lungime in diferite conditii,ceea ce va conduce mai tarziu la calculul variatiilor.Pionier al studiului probabilitatilor si autor al primei carti cu acest subiect, Ars Conjectandi.a cerut sa I se incrusteze pe piatra tombala o spirala logaritmica, impreuna cu inscriptia Eadem mutata resurgo(Voi reveni acelasi ,si totusi schimbat).

    Johann I(1667-1748)

    A dezvoltat calculul diferential si l-a promovat in europa.Elevul sau,marchizul de L’Hospital, a inclus in descoperirile lui Johann in primul manual de calcul diferential.”Regula lui L’Hospital” pentru evaluarea limitelor care se reduc la 0/0 I se datoreaza lui Johann.A scris despre optica (reflectia si refractia), traiectorii ortogonale ale familiilor de curbe,lungimea curbelor si evaluarea ariilor prin serii,trigonometrie analitica si functia exponentiala,brachistocrona(curba cu cea mai rapida panta), lungimea cicloidei.

    Nicolaus I (1687-1759)

    A ocupat catedra de matematica a lui Galileo la Padova.A scris despre geometrie si ecuatii diferentiale.Ulterior a predat logica si dreptul.A fost un matematician inzestrat,dar nu foarte productiv.A corespondat cu Leibniz,Euler si altii-descoperirile sunt raspandite in 560 de documente de corespondenta.
    A formulat Paradoxul St.Petersburg din teoria probabilitatilor.
    A criticat folosirea abuziva de catre Euler a seriilor divergente.a supravegheat publicarea lucrarii Ars Conjectandi a lui Jacob Bernoulli.L-a sprijinit pe Leibniz in disputa cu Newton.

    Nicolaus II (1695-1726)

    A fost chemat la academia din St.Petersburg si a murit inecat opt luni mai tarziu.A discutat paradoxul St. Petersburg cu Daniel.

    Daniel (1700-1726)

    Este cel mai celebru dintre cei trei fii ai lui Johann.A lucrat in probabilitati, astronomie, fizica si hidrodinamica.
    Hidrodinamica publicata de el in 1738 contine principiul lui Bernoulli privind relatia dintre presiune si viteza.A scris despre maree,teoria cinetica a gazelor si vibratia corzilor.Pionier al studiului ecuatiilor cu derivate partiale.

    Johann II (1710-1790)

    Era cel mai tanar dintre cei trei fii ai lui Johann.A studiat dreptul, dar a devenit profesor de matematica la Basel. A lucrat in teoria matematica a caldurii si a luminii.

    Johann III (1744-1807)

    Asemenea tatalui sau,a studiat dreptul,dar apoi s-a dedicat matematicii.A fost chemat la academia din Berlin la varsta de 19 ani.a scris despre astronomie,probabilitati si zecimale recurente.

    Jacob II (1759-1789)

    A avut lucrari importante in elasticitate,hidrostatica si balistica.

    Daca ti-a placut acest articol, daca doresti sa afli mai multe despre cursurile de dezvoltare personala si meditatii la matematica , cum te pot ajuta si de ce sunt utile , astept un mesaj pe email.:contact@meditatii.eu.
    Inscrie-te la newsletter, vei primi informatii utile si oferte speciale, dedicate numai celor care se aboneaza.

    „Citat din: Imblanzirea Infinitului de Ian Stewart”

     

    Matematica Naturii

    28 noiembrie 2017
    Roxana Iancu
    No comments
    Categories: Articole, Dezvoltare Personala

      Am putea defini natura ca fiind tot ce ne inconjoara: obiectele, vietuitoarele, fenomenele si chiar noi insine. Nu pretindem a da o definitie a naturii ci doar sa stabilim o ipoteza de lucru oarecum general acceptabila.
    Se spune ca primele notiuni matematice au fost impuse omului (mai bine zis unor oameni) de catre Natura insasi.  Din nevoia de a avea evidenta unor obiecte, zice-se, au aparut numerele.
    Se mai spune ca, spre exemplu, doi ar fi aparut inaintea lui unu ( Prin inductie am putea spune ca azi n+1 a aparut inaintea lui n, pentru orice n si, la limita, ca infinitul a precedat finitul!). Exista (sau au existat ) triburi care nu puteau numara decat pana la 10. Pentru chinezi, numarul zece mii echivala cu infinitul.
    Secolele au trecut, s-a constatat ca multe fenomene ale naturii sunt guvernate de anumite reguli, care au fost numite “legi ele naturii” si ca in exprimarea acestor legi apar sine qua non numerele, precum si ale notiuni matematice. Nu ne propunem aici sa facem analiza  felului cum au aparut aceste legi , nici care sunt ele. Amintim doar, spre exemplu, legea atractiei universale: ”Doua corpuri ceresti se atrag cu o forta invers proportionala cu patratul distantei dintre ele.”
    De-a lungul timpului au fost descoperite numeroase legi ale naturii si cautarea lor continua. Se poate avansa ipoteza (pentru unii aceasta este o convingere) ca toate fenomenele naturii se desfasoara dupa legi bine stabilite, desi nu toate aceste legi sunt cunoscute inca.
    Pentru descoperirea legilor naturii, matematicienii (adica cei care se ocupa de matematica, in toata puterea cuvantului) au elaborat un aparat urias de notiuni si relatii intre ele (adica teoreme). Trebuie sa remarcam ca pentru un matematician toate aceste notiuni si rezultate au o dubla origine; unele sunt impuse de contextul in care activeaza, iar altele ii sunt impuse din Forul Sau Interior sau Intuitie. Acest aparat urias, Matematica, este poate, cea mai mare constructie a mentalului uman, cu exceptia descoperirii drumului catre Dumnezeu.
    Modelarea legilor Naturii prin Matematica este la ora actuala in plin avant, iar Matematica penetreaza toate domeniile activitatii umane sub diverse forme cum ar fi Informatica, Cibernetica,Mecanica etc. Se pare ca matematica va patrunde peste tot!  Cu alte cuvinte putem vorbi despre o Matematica a naturii.
    Oare asa sa fie!  Nu putem admite “parti” ale Naturii in care totul se petrece in afara oricarei legii?  Mai departe, ne putem intreba daca toate notiunile si rezultatele Matematicii corespund sau vor corespunde unei legi “obiective” a Naturii.  (Aceasta ultima intrebare devine fara obiect daca admitem Matematica insasi ca fiind integrata in Natura).
    La intrebarile de mai sus nu se poate da un raspuns, mai bine zis nu se poate da o “demonstratie” unui eventual raspuns. Este cazul sa ne amintim ca in orice demonstratie exista ipoteze, axiome, teoreme si concluzii. Si mai exista ceva: liantul acestor ingrediente, adica “rationamentul”. Si mai presus de acesta se afla Cel care face rationamentele, Adica Ratiunea.

    Dar ce este de fapt Ratiunea?

    Ianuarie 1994 Nicolae Popescu

    Daca ti-a placut acest articol, daca doresti sa afli mai multe despre cursurile de dezvoltare personala si meditatii la matematica , cum te pot ajuta si de ce sunt utile , astept un mesaj pe email.:contact@meditatii.eu.
    Inscrie-te la newsletter, vei primi informatii utile si oferte speciale, dedicate numai celor care se aboneaza.

    „ Citat din: Nicolae Popescu Omul – Matematicianul -Mentorul ”

    Matematicieni romani si cateva din realizarile lor

    27 noiembrie 2017
    Roxana Iancu
    No comments
    Categories: Articole, Matematicieni

    Simion Stoilov (1887-1961), renumit matematician roman,care a contribuit la dezvoltarea scolii moderne de matematici de la noi.O parte dintre lucrarile lui sint legate de teoria multimilor si topologie.In 1936 devine membru al Academiei Romane.A fost profesor la Universitatea din Bucuresti, unde, pe langa cursul de teoria functiilor, a predat multe alte cursuri cu subiecte moderne de matematica.

    Gheorgehe Lazar a pus bazele invatamantului matematic romanesc din Muntenia, asa cum, in acelasi timp, au facut-o Gheorghe Asachi in Moldova.Pentru scoala de la Sf, Sava, deschisa in 1816 si care a dat tarii primii ingineri, el a elaborat,traducand in romaneste,un curs de aritmetica teoretica,unul de geometrie si altul de trigonometrie.Aceasta scoala a functionat numai pana in 1821,cand s-a inchis odata cu izbucnirea revolutiei la care a luat parte si el ca prieten al lui Tudor Vladimirescu.

    Spiru Haret s-a nascut la Iasi.In 1874, a trecut examenul de licenta in stiintele fizico-matematice la Universitatea din Bucuresti,dupa care si-a continuat studiile la Paris.Teza prezentata de el la Sorbona, in 1878, a avut un succes mondialpentru ca ea rezolva una dintre cele mai grele probleme de mecanica cereasca legata de drumul parcurs de planetele sistemului nostru solar.Chiar in 1878 Spiru Haret a fost numit profesor la Universitatea din Bucuresti.In aceasta calitate si apoi ca ministru al invatamantului el a contribuit la organizarea si modernizarea invatamantului de toate gradele,orientandu-l spre cercetarea stiintifica si aplicatii practice.Din 1879 a fost ales membru al Academiei Romane.
    Ca omagiu adus pentru contributia sa in domeniul astronomiei,Comisia internationala de denumiri pe Luna a hotarat in 1976, cand s-au sarbatorit 125 de ani de la nasterea savantului sa dea numele Spiru Haret unui caracter de pe partea invizibila a ei.

    Ion Ionescu(1870-1946) a fost unul dintre cei mai activi si generosi animatori ai dezvoltarii invatamantului matematic romanesc.Impreuna cu alti profesori a intemeiat si a condus, pana la sfarsitul vietii , revista “Gazeta Matematica”. Pe langa activitatea sa de profesor la Scoala de Poduri si Sosele din Bucuresti si de inginer,el a aratat un deosebit interes pentru istoria matematicilor romanesti,publicand multe articole si lucrari de specialitate.O parte dintre aceste articole,impreuna c u altele de popularizare a matematicii, le-a adunat in doua volume sub titlul:Povestiri stiintifice.

    Daca ti-a placut acest articol, daca doresti sa afli mai multe despre cursurile de dezvoltare personala si meditatii la matematica , cum te pot ajuta si de ce sunt utile , astept un mesaj pe email.:contact@meditatii.eu.
    Inscrie-te la newsletter, vei primi informatii utile si oferte speciale, dedicate numai celor care se aboneaza.

    „ Citat din: Vechi si nou in matematica de Florica T. Campan ”

    Metode specifice de rezolvare a problemelor de colinearitate si concurenta

    16 noiembrie 2017
    Roxana Iancu
    No comments
    Categories: Articole, Metode rezolvare probleme matematica

    Problemele de colinearitate si concurenta, ca de altfel , si alte probleme de geometrie,prezinta deseori dificultati pentru elevi.Varietatea si multitudinea situatiilor in care apar astfel de probleme ca si a modalitatilor de solutionare nu permit incadrarea lor intr-un numar finit de scheme sau de tehnici de lucru.Exista totusi posibilitatea evidentierii unor cai de rezolvare,de demonstrare a propozitiilor despre colinearitate sau concurenta.
    Nu toate problemele de colinearitate si concurenta pot fi incadrate intr-una din metodele prezentate mai jos.

    Metode specifice de rezolvare a problemelor de colinearitate

    Problemele de colinearitate a unor puncte reprezinta un tip deosebit de probleme de geometrie, ele fiind probleme de demonstratie prin rezolvarea carora se urmareste stabilirea sau verificarea unei relatii, gasirea unor proprietati noi ale figurilor date, justificarea unei afirmatii formulate.Ele reprezinta, in general, adevaruri usor de intuit, dar a caror demonstratie riguroasa necesita rationamente precise si o gama variata de tehnici specifice si solicita din partea celui care rezolva aceste probleme multa inventivitate,cultura matematica si perspicacitate.
    Avand in vedere existenta unui numar mare de propozitii matematice foarte elegante ce concluzioneaza proprietati de colinearitate (puncte apartinand aceleiasi drepte), in continuare sunt prezentate unele dintre cele mai utilizate metode de rezolvare a acestui tip de probleme,atat in gimnaziu,cat si in liceu.

    a)Cu ajutorul unicitatii paralelei
    b)Cu ajutorul identificarii unei drepte ce contine punctele X,Y,Z
    c)Cu ajutorul unghiurilor adiacente suplementare
    d)Cu ajutorul proprietatilor paralelogramului
    e)Cu ajutorul reciprocei teoremei lui Simson
    f)Cu ajutorul reciprocei teoremei lui Menelaus

    Metode specifice de rezolvare a problemelor de concurenta

    Problemele privind concurenta unor drepte,ca si problemele de colinearitate a unor puncte,prezinta adevaruri care sunt, in general , usor de intuit,insa a caror demonstratie riguroasa cere rationamente precise (exacte) si o gama variata de tehnici specifice.
    Intalnim astfel de drepte concurente si in triunghiuri ca mediane, mediatoare, inaltimi sau bisectoare, in paralelograme sau trapeze ca diagonale,precum si in probleme combinate. Rezolvarea lor se bazeaza, in prima faza pe gasirea punctului de intersectie, a doua drepte a si b, dupa care, in raport cu datele problemei,se va demonstra ca o a treia dreapta c,trece prin acelasi punct.Punctul gasit va fi punctul de concurenta al dreptei date.

    Cele mai utilizate metode de rezolvare a acestui tip de probleme atat in liceu cat si in gimnaziu sunt:

    a)Demonstrarea concurentei prin reducerea la o problema de colinearitate
    b)Demonstrarea concurentei prin reducerea la concurente cunoscute
    c)Demonstram concurenta a trei drepte aratand ca punctul de intersectie a doua din cele trei drepte satisface o proprietate caracteristica punctelor pe care cea de-a treia dreapta. Altfel spus, aratam ca punctul de intersectie a doua din cele trei drepte apartine locului geometric format de punctele celei de-a treia dreapta.
    d)Demonstram concurenta a trei drepte d1,d2,d3 aratand ca d1 si d2, respectiv d1 si d3 sunt concurente si punctele lor de concurenta coincid
    e)Demonstram ca cele trei drepte verifica conditiile din ipoteza unei teoreme(directe sau reciproce) a carei concluzie conduce la concurenta acestora.

    Daca ti-a placut acest articol, daca doresti sa afli mai multe despre cursurile de dezvoltare personala si meditatii la matematica , cum te pot ajuta si de ce sunt utile , astept un mesaj pe email.:contact@meditatii.eu.
    Inscrie-te la newsletter, vei primi informatii utile si oferte speciale, dedicate numai celor care se aboneaza.
    „Citat din: Metode de rezolvare a problemelor de geometrie de Irina Cretu”

    Matematica, poezia si arta

    2 noiembrie 2017
    Roxana Iancu
    No comments
    Categories: Articole, Dezvoltare Personala

    “Matematica pune in joc puteri sufletesti nu mult mai diferite de cele solicitate de poezie si arta”

    Ion Barbu

    Legatura dintre matematica, poezie si arta a fost exprimata in multe feluri de diferiti poeti si artisti,multi dintre ei avand chiar o formatie matematica.Au existat si exista, dealtfel, multi matematicieni poeti si, de asemenea, poeti care au fost atrasi de studiul matematicilor.Referindu-ne numai la trecut, am putea aminti de Ommar al Khayyam (1084-1123), de James J. Sylvester (1814-1897), de Paul Valery (1871-1945), de Dan Barbilian (1895-1961), care iscalea versurile si proza literara cu pseudonimul Ion Barbu, dar , ca sa nu lungim prea mult lista,vom incheia-o cu observatia lui Karl Weierstrauss (1815-1897):”un matematician care nu-i cat de cat poet, nu poate fi matematician desavarsit”. Din acest citat se desprinde faptul ca un adevar matematic este plin de aceeasi armonie interioara ca si o poezie adevarata, fiindca amandoua cer, in forme diferite , imaginatie si intuitivitate si nici una dintre ele nu se poate infaptui fara vocatie,inspiratie si, mai ales, daruire de sine.

     

    Pentru o atare petrecere nu se cere vocatie,ci numai interes, curiozitate stiintifica si, poate, acea pasiune pe care o pun cei hotarati sa urce muntele pana in pisc,stiind ca truda le va fi rasplatita, “cu varf si indesat”, de privelistea maiestuasa si clara , singura in stare sa sugereze nesfarsitul, infinitul in toata splendoarea lui.Si, as mai adauga, pentru acei cativa care vor simti in sufletul lor vibratia vocatiei,si manati de talent vor gasi,pest ani,calea marilor descoperiri, cateva cuvinte pe care le-am retinut din destainuirea savantului sovietic Alexandr M. Prohanov, distins cu Premiul Nobel in anul 1964:”Bucuria care inunda interiorul fiintei tale consta in aceea ca simti cum cele mai ascunse taine ale naturii ti se dezvaluie, in fata ochilor se infatiseaza un sens si o ordine unde, pana la tine, nimeni nu a mai putut sa le descopere”.

    Daca in viata noastra ,de zi cu zi, nu ne putem desparti de poezie si arta , cu atat mai putin ne putem instraina de matematici. In afara de socotelile zilnice,de numaratul banilor pentru tramvai si autobuz, de numerele de telefon si de celelalte numere care nu lipsesc aproape din nici una dintre conversatiile noastre, matematicile au patruns, ca aerul , in toate formele vietii moderne.Toate obiectele care ne atrag atentia isi exprima fiinta sau frumusetea prin forme,prin volume,prin proportii sau prin modelele care ascund vechiul in combinari noi. Si aici se manifesta o noua apropiere dintre matematica si poezie.
    In poezie ca si in matematica gasim mereu combinari noi, neasteptate si ingenioase, de idei, de adevaruri, de rezultate.
    De la problemele practice cu primele numere inventate de omul primitiv, matematicienii greci au trecut la altele , tot cu numere, dar de natura abstracta, teoretica.Pe ei nu-i mai satisfaceau sa rezolve problemele care sa le arate ce cantitate , ce suprafata, ce volum sau ce capacitate are un corp dat, ci se intrebau ce proprietate are acest numar abstract si prin ce se deosebeste el de altul? Ca sa luam un caz concret, numerele 4,6,21,23, de pilda,nu mai erau pentru ei pur si simplu numere, asa cum fusesera pentru toti inaintasii lor, mesteri in ale calculului:egipteni, babilonieni si altii.Ei au gasit, spre marea lor bucurie si surpriza, ca , in timp ce numerele 4, 6, 21 apar ca produse de doi factori: 4=2×2, 6=2×3,
    21=3×7, numarul 23 nu se desface in alti factori decat daca se are in vedere si 1! Au inteles atunci ca primele 3 numere sunt numere compuse, iar al patrulea este numar prim, si s-au apucat sa cearna numerele ca faina prin sita! Cele prime au ramas in ciurul lui Eratostene, cele compuse au trecut!S-au jucat, si joaca aceasta i-a delectat tot asa de mult cum ii delecta o reprezentare a unei comedii sau tragedii,sau jocurile olimpice. Am ales numai un exemplu dintr-o mie asa, ca sa-ti incerc curiozitatea, draga cititorule.Vei alerga oare la biblioteca din cartier, la cea de la scoala sau la locul de munca ca sa-ti cauti urmarea?Aceasta depinde numai de tine.

    “Citat din:Vechi si nou in matematica de Florica T. Campean”