Comentarii recente

    No menu selected

    Archive: octombrie 2017

    Metode particulare folosite in geometrie pentru rezolvarea problemelor (Metoda reducerii la absurd)

    25 octombrie 2017
    Roxana Iancu
    No comments
    Categories: Articole, Metode rezolvare probleme matematica

    Metodele particulare sunt acelea care se pot folosi in rezolvarea unui numar restrans de probleme. De multe ori, metodele particulare conduc mai usor la solutia problemei decat analiza si sinteza, care in unele cazuri sunt foarte greu de aplicat. Dintre metodele particulare amintim:

    1.Metoda reducerii la absurd;
    2.Metoda inductiei complete;
    3.Probleme de constructii geometrice;
    4.Probleme de locuri geometrice;
    5.Metode de rezolvare a problemelor de coliniaritate;
    6.Metode de rezolvare a problemelor de concurenta;
    7.Metoda geometriei analitice;
    8.Metoda calculului vectorial;
    9.Metoda planului complex;

    1.Metoda reducerii la absurd

    Metoda reducerii la absurd este folosita si in geometrie pentru demonstrarea unor teoreme sau a unor probleme care au caracter teoretic. In matematica, pentru a stabili valoarea de adevar a unei propozitii matematice, folosim doua feluri de demonstratii:demonstratia directa si demonstratia indirecta.Numim demonstratie directa un sir de implicatii (silogisme) care se sprijina direct pe adevaruri stabilite in prealabil si care conduc in mod direct la concluzia dorita sau la solutia problemei.Dar acest lucru nu este intotdeauna posibil, astfel ca in unele cazuri este mai usor sa demonstram reciproca contrarei propozitiei initiale. In aceste cazuri avem de-a face cu o demonstratie indirecta, metoda numindu-se metoda reducerii la absurd.

    La baza acestei metode sta legea tertului exclus, una din legile fundamentale ale logicii clasice, care se enunta astfel:Din doua propozitii contradictorii, una este adevarata, cealalta falsa, iar a treia posibilitate nu poate exista.
    Cand la doua propozitii contradictorii aplicam legea tertuluyi exclus, este suficient sa stabilim ca una din ele este falsa pentru a deduce ca cealalta este adevarata.Asadar din regula implicatiei inverse stim ca are loc echivalenta (p=>q <=>(q1=>p1) . Uneori demonstratia teoremei directe este mai dificila decat demonstratia teoremei inverse, numita reciproca a contrarei (sau contrara reciprocei).Metoda reducerii la absurd consta in demonstrarea acestei de-a lungul teoremei.

    Practic, aceasta metoda se aplica astfel:se presupune ca ceea ce trebuie sa demonstram nu este adevarat, cu alte cuvinte, se neaga concluzia teoremei date.Apoi se efectueaza, pornind de la ipoteza teoremei si ipoteza contrara reciprocei, un sir de rationamente concrete si in urma acestor rarionamente corecte si in urma acestor rationamente se fac o serie de deductii logice, care scot in evidenta faptul ca presupunerea facuta nu este posibila si ramane cu adevarat concluzia teoremei date .

    La geometrie, metoda reducerii la absurd se aplica, cu succes, pentru a demonstra propozitii matematice(teoreme) incepand chiar din clasa a VI-a, cand elevii intalnesc notiunea de teorema.Pe parcursul anilor de gimnaziu si liceu se intalnesc multe situatii de aplicare a acestei teoreme, atata la geometrie, cat si la aritmetica, algebra, trigonometrie si analiza matematica.Metoda reducerii la absurd se intrebuinteaza de mai multe ori in demonstrarea teorenmelor reciproce.

    Daca ti-a placut acest articol, daca doresti sa afli mai multe despre cursurile de dezvoltare personala si meditatii la matematica , cum te pot ajuta si de ce sunt utile , astept un mesaj pe email.:contact@meditatii.eu.
    Inscrie-te la newsletter, vei primi informatii utile si oferte speciale, dedicate numai celor care se aboneaza.

    „Citat din: Metode de rezolvarea problemelor de geometrie  de Irina Cretu”

    Isaac Newton si analiza matematica

    23 octombrie 2017
    Roxana Iancu
    No comments
    Categories: Articole, Matematicieni

    Ce este analiza matematica ?

    Analiza matematica se ocupa cu vitezele instantanee de variatie – cat de repede variaza o anumita cantitate chiar in acest moment ? Ca sa luam un exemplu fizic: un tren se deplaseaza pe o cale ferata; cat de repede se misca el chiar acum? Analiza matematica are doua ramuri principale:calculul diferential si calculul integral.

    Calculul diferential ofera metode de calcul al vitezelor de variatie si are numeroase aplicatii geometrice, in particular gasirea tangentelor la curbe. Calculul integral procedeaza invers: data fiind viteza de variatie a unei anumite cantitati, el determina cantitatea insasi. Intre aplicatiile geometrice ale calculului integral se numara calculul ariilor si volumelor. Poate ca cea mai semnificativa descoperire e aceasta neasteptata conexiune intre doua probleme de geometrie clasica aparent fara legatura: determinarea tangentelor la curba si determinarea ariilor.

    Inventarea analizei matematice

    Inventarea analizei matematice a fost rezultatul cercetarilor anterioare legate de probleme aparent disparate, dar avand o unitate ascunsa. Printre ele se numara calculul vitezei instantanee a unui obiect in miscare cunoscand distanta parcursa de el la orice moment de timp, gasirea tangentei la o curba, gasirea lungimii unei curbe, gasirea valorilor maxima si minima ale unei cantitati variabile, gasirea ariei unei figuri plane si a volumului unui corp tridimensional.Anumite idei si exemple importante au fost aduse de Fermat, Decartes si un englez mai putin cunoscut, Isaac Barrow, dar metodele erau valabile doar pentru probleme particulare. Se simtea nevoia unei metode generale.

    Principalii creatori ai analizei matematice au fost Gottfried Wilhelm Leibniz si Isaac Newton

    Newton a copilarit la o ferma din satucul Woolsthorpe din Lincolnshire.Tatal lui murise cu doua luni inainte de nasterea sa iar mama lui administra ferma.A invatat la scoala din localitate , fara sa dovedeasca alt talent decat indemanarea in manevrarea jucariilor mecanice. O data a construit un balon cu aer cald si l-a testat cu pisica familiei drept pilot; nici balonul, nici pisica n-au mai fost vazute vreodata. A intrat la Trinity College din Cambridge, cu rezultate destul de bune la examenul de admitere – in afara geometriei.Ca student, n-a facut mare impresie in primii ani de studiu.

    Apoi in 1665, marea ciuma a inceput sa devasteze Londra si zonele invecinate, iar studentii au fost trimisi acasa inainte ca acelasi lucru sa se intample la Cambridge. Intors la ferma familiala, Newton a inceput sa mediteze mult mai profund la temele stiintifice si matematice.

    Gravitatia

    In anii 1665-1666 a conceput legea gravitatiei pentru a explica miscarea planetelor,a elaborat legile mecanicii pentru a explica si analiza miscarea oricarui corp sau particule, a inventat atat calculul diferential, cat si cel integral si a facut mari progrese in optica. Ca de obicei, nu-si publica nici una din lucrari, intorcandu-se linistit la Trinity pentru a-si lua licenta si a fi ales fellow al colegiului.
    A obtinut apoi postul de profesor lucasian de matematica, dupa demisia din 1669 a predecesorului sau, Barrow.

    Gottfried Wilhelm Leibniz si Isaac Newton au fost creatorii analizei matematice .
    Doi dintre prietenii sai, Isaac Barow si Edmond Halley, I-au recunoscut remarcabilele inzestrari si l-au incurajat sa-si publice rezultatele.Lui Newton nu-i placea sa fie criticat, iar cand , in 1672, si-au publicat ideile despre lumina, lucrarea sa a declansat o furtuna de critici, ceea ce i-a accentuat retinerea de a-si incredinta gandurile tiparului.A continuat totusi sa publice sporadic si a scris doua carti.Si-a dus mai departe ideile despre gravitatie, iar in 1684 Halley a incercat sa-l convinga sa-si publice rezultatele.Dar pe langa aversiunea lui Newton fata de critica mai exista un obstacol tehnic.

    Fusese nevoit sa modeleze planetele ca particule punctiforme, cu masa nenula, dar cu volumul nul, ceea ce el simtea ca este nerealist si va va provoca obiectii.Ar fi vrut sa inlocuiasca punctele nerealiste prin sfere pline, dar nu putea demonstra ca atractia gravitationala a unei sfere e aceeasi cu cea a unei particule punctiforme de aceeasi masa.
    In 1686 a reusit sa umple aceasta lacuna, iar Principia a vazut lumina tiparului in 1687. Lucrarea continea multe idei noi.Cele mai importante erau legile matematice ale miscarii, extinzand rezultatele lui Galilei, si gravitatia, bazata pe legile gasite de Kepler.

    Principala lege de miscare a lui Newton (mai exista si altele) spune ca acceleratia unui corp aflat in miscare inmultita cu masa lui este egala cu forta care actioneaza asupra corpului.viteza este derivata spatiului, iar acceleratia este derivata vitezei.
    Legea gravitatiei spune ca toate particulele de materie se atrag reciproc cu o forta proportionala cu masele lor si invers proportionala cu patratul distantei dintre ele. De exemplu, forta cu care Pamantul este atras de Luna ar deveni de patru ori mai mica daca luna ar fi impinsa la o distanta de doua ori mai mare, sau de noua ori mai mica daca distanta s-ar tripla.Din nou, deoarece legea se refera la forte, ea implica derivata a doua a spatiului.
    Newton a dedus aceasta lege din cele trei legi ale miscarii planetare stabilite de Kepler.

    Deducerea publicata de el era o capodopera de geometrie euclidiana clasica.Newton a ales acest stil de prezentare deoarece el implica o matematica familiara, si deci nu era usor de criticat.Dar mai multe aspecte atinse in Principia isi datoreaza geneza inventiei newtoniene inca nepublicate a analizei matematice.
    Unul dintre primele sale studii pe aceasta tema a fost o lucrare intitulata Asupra analizei prin intermediul ecuatiilor cu un numar infinit de termeni , pe care a prezentat-o catorva prieteni in 1669. In limbaj modern, el se intreba care este ecuatia unei functii f (x), daca aria de sub graficul ei este de forma x.
    In 1671 a scris un tratat extins, Metoda fluxiunilor si a seriilor infinite .Prima sa carte de analiza matematica a fost publicata in 1711;a doua a aparut in 1736.E limpede ca pe la 1671 Newton ajunsese la ideile fundamentale ale analizei matematice.
    Criticii acestui procedeu, in special episcopul George Berkley in cartea sa din 1734, Analistul, discurs adresat unui matematician necredincios, au aratat ca este ilogic sa imparti numaratorul si numitorul la 0,daca ulterior 0 este adus la O.
    Intr-adevar, procedeul ascunde faptul ca fractia este in realitate 0/0, fractie ce nu are sens.

    La ce ne ajuta analiza matematica

    Una dintre primele aplicatii ale calculului diferential si integral pentru intelegerea fenomenelor naturale a fost legata de problema formei unui lant lasat sa atarne.
    Unii matematicieni credeau ca raspunsul este o parabola, altii nu erau de acord.In 1691 Leibniz, Christian Huygens si Bernoulli au publicat fiecare cate o propunere de solutie .Cea mai clara era a lui Bernoulli. El a scris o ecuatie diferentiala care descria pozitia lantului, bazata pe mecanica newtoniana si pe legile de miscare ale lui Newton.
    S-a dovedit ca solutia nu era o parabola, ci o curba numita lantisor. Cablurile podurilor suspendate sunt insa parabolice. Diferenta apare deoarece aceste cabluri sustin atat greutatea podului, cat si propria lor greutate. Si acest lucru poate fi demonstrat folosind calculul diferential.
    Ecuatiile diferentiale sunt omniprezente in stiinta: sunt de departe mijlocul cel mai raspandit de modelare a sistemelor naturale. Se folosesc, de pilda, pe larg pentru a calcula traiectoriile sondelor spatiale, cum ar fi misiunea Mariner catre Marte, cele doua nave Pioneer care au explorat sistemul solar si ne-au transmis imagini atata de minunate ale planetelor Jupiter, Saturn, Uranus si Neptun, sau vehiculele robot cu sase roti Spirit si Opportunity, care au cercetat Planeta Rosie.
    Misiunea Cassini, care exploreaza planeta Saturn si satelitii ei, este un alt exemplu.Intre descoperirile

    ei se numara existenta lacurilor de metan si etan lichid pe satelitul Titan al lui Saturn. Desigur, calculul diferential nu e unica tehnica folosita de misiunile spatiale – dar fara el aceste nave n-ar fi fost niciodata lansate.
    Dintr-o perspectiva mai practica, orice avion care zboara,orice automobil care parcurge un drum, orice pod suspendat si orice constructie rezistenta la cutremure isi datoreaza partial proiactarea calculului diferential. Pana si descrierea modului in care variaza numeric populatiile de animale provine din ecuatiile diferentiale.Acelasi lucru este valabil pentru raspandirea epidemiilor,unde modulele analitice sunt folosite pentru a planifica cea mai eficienta cale de a interveni si de a impiedica o raspandire dezastruoasa.Un model recent pentru epidemia de febra aftoasa in Marea Britanie a dovedit ca strategia adoptata nu era optima.

    Daca ti-a placut acest articol, daca doresti sa afli mai multe despre cursurile de dezvoltare personala si meditatii la matematica , cum te pot ajuta si de ce sunt utile , astept un mesaj pe email.:contact@meditatii.eu.
    Inscrie-te la newsletter, vei primi informatii utile si oferte speciale, dedicate numai celor care se aboneaza.
    „Citat din: Imblanzirea Infinitului de Ian Stewart”

    Metode generale folosite in rezolvarea problemelor de geometrie – Metoda sintezei

    20 octombrie 2017
    Roxana Iancu
    No comments
    Categories: Articole, Metode rezolvare probleme matematica

    1.Metoda sintezei

    Cuvantul sinteza vine din grecescul synthesis, care inseamna strangerea intr-un intreg a partilor componente care au fost despartite. In logica, sinteza este o metoda de rationament care consta in faptul ca desfasurarea gandirii se face de la simplu la compus sau de la cunoscut la necunoscut. Demonstratia in care se porneste de la propozitii particulare spre propozitii generale se numeste demonstratie sintetica (metoda inductiva sau prin sinteza). In acest tip de demonstratie se porneste de la cunoscut spre necunoscut, adica pornind de la o propozitie despre care stim ca este adevarata, deducem propozitii care, de asemenea, sunt adevarate si ultima este cea care trebuie demonstrata.asadar in aceasta metoda, gandirea elevului este dirijata pentru a se raspunde la intrebarea:Daca stiu…,ce pot sa aflu?

    1.1 Metoda sintezei in rezolvarea problemelor de calcul

    Prin probleme de calcul intelegem acele probleme care cer gasirea unor valori numerice atunci cand se cunosc anumite date. Daca marimile din problema nu sunt exprimate prin numere, rezultatul obtinut se exprima, in mod general, printr-o formula. Problemele de calcul se impart in:

    a) Exercitii si probleme cu continut geometric, dar pentru rezolvarea carora se cere cunoasterea rezolvarii problemelor tip din aritmetica;
    b)Probleme care, pentru a le gasi rezultatul, cer folosirea mai multor propozitii legate intr-un rationament.

    Rezolvarea exercitiilor nu cere din partea celui ce le face un efort mare de gandire, constructia unor rationamente complicate, ci numai cunoastrea temeinica a regulilor, a formulelor sau a teoremelor studiate.Desi rezolvarea exercitiilor dezvolta prea putin gandirea logica, ele au o importanta mare pentru studiul geometriei deoarece, pe de o parte , contribuie la formarea priceperilor si deprinderilor pentru a aplica cunostintele teoretice in rezolvarea problemelor, ceea ce constituie, de fapt, primul pas in aplicarea teoriei in practica, iar pe de alta parte, formeaza, incetul cu incetul, increderea in fortele proprii.

    Prin metoda sintezei o problema de calcul se rezolva astfel:se iau doua date cunoscute ale problemei intre care exista o legatura si cu ajutorul lor se formuleaza o problema ce ne da posibilitatea sa calculam valoarea celei de-a treia marimi, care devine astfel cunoscuta. Se iau apoi alte doua date cunoscute (fie date prin enuntul problemei fie calculate anterior) si cu ajutorul lor se formuleaza o problema, care rezolvata ne da valoarea unei alte marimi.Se procedeaza in acest mod pana gasim tocmai valorile marimilor ce se cer in problema.

    Observam ca uneori ne putem folosi si de o singura data a problemei, daca ea este legata de o formula cunoscuta mai demult. Alteori putem lua, in loc de doua date, mai multe date daca intre ele exista o legatura in asa fel incat sa punem formula cu ajutorul lor .
    In concluzie, aceasta metoda se poate folosi cu succes la o problema care necesita aplicarea directa a unei teoreme invatate sau cand avem destule indicatii care sa ne conduca spre rezultatul cerut.

    1.2 Metoda sintezei in rezolvarea problemelor de demonstratie

    In problemele de demonstratie se urmareste sa se justifice daca o afirmatie pe care am formulat-o mai innainte, referitoare la o proprietate a unei figuri geometrice, este adevarata sau nu.

    Intr-o problema de demonstratie la geometrie se considera o figura despre care se spune ca poseda proprietatile A si se cere sa demonstram ca poseda si proprietatile B.

    Propozitia care ne spune ca figura data poseda proprietatile A se numeste ipoteza, iar propozitia care ne spune ca figura data poseda proprietatile B poarta numele de concluzie. Cu alte cuvinte, intr-o problema de demonstratie se cere sa aratam ca, daca pentru o figura este adevarata ipoteza, este adevarata si concluzia.

     

    Daca ti-a placut acest articol, daca doresti sa afli mai multe despre cursurile de dezvoltare personala si meditatii la matematica , cum te pot ajuta si de ce sunt utile , astept un mesaj pe email.:contact@meditatii.eu.
    Inscrie-te la newsletter, vei primi informatii utile si oferte speciale, dedicate numai celor care se aboneaza.

    „Citat din: Metode de rezolvare a problemelor de geometrie de Irina Cretu”

    Geometria coordonatelor in zilele noastre

    19 octombrie 2017
    Roxana Iancu
    No comments
    Categories: Articole, Geometrie si Trigonometrie

    Geometria coordonatelor in zilele noastre

    Coordonatele sunt una dintre acele idei simple care au influentat puternic viata de zi cu zi.Le folosim pretutindeni, de regula fara sa ne dam seama. Practic toata grafica pe calculator foloseste un sistem de coordonate intern, iar geometria care apare pe ecran e determinata algebric. O operatie simpla cum e rotirea unei fotografii digitale cu cateva grade, pentru ca linia orizontului sa fie la orizontala, se bazeaza pe geometria coordonatelor.
    Sensul profund al geometriei coordonatelor tine de interconexiunile din matematica.Notiuni ale caror transpuneri fizice par fara legatura intre ele pot fi aspecte diferite aled aceluiasi lucru.
    Aparentele pot fi inselatoare. Mare parte din eficacitatea matematicii ca mijloc de a intelege universul provine din capacitatea ei de a adapta ideile, transferandu-le dintr-un domeniu al stiintei in altul.Matematica este esentiala in transferul de tehnologie. Interconexiunile pe care le-am descoperit in ultimii 4000 de ani fac din matematica un domeniu unic si unitar.

    La ce i-au ajutat coordonatele

    Geometria coordonatelor poate fi folosita pentru suprafete mai complicate decat planul, cum ar fi sfera.Cele mai obisnuite coordonate de pe sfera sunt longitudinea si latitudinea.Astfel cartografierea si folosirea hartilor de navigatie pot fi considerate aplicatii ale geometriei coordonatelor.
    Principala problema de navigatie a unui capitan era determinarea latitudinii si longitudinii vasului sau . Aflarea latitudinii e destul de usoara, deoarece unghiul la care se afla Soarele deasupra orizontului depinde de latitudine si poate fi tabelat. Din 1730, instrumentul standard pentru gasirea latitudinii a fost sextantul (pe care acum GPS-ul l-a scos din uz).Acesta a fost inventat de Newton, care insa nu l-a facut public, si in mod independent de matematicianul englez John Hadley si de inventatorul american Thomas Godfrey. Navigatorii folosisera inainte astrolabul, care provenea din Arabia medievala.
    Longitudinea este mai greu de aflat.Problema a fost rezolvata in cele din urma prin construirea unui ceas foarte precis, care era potrivit dupa ora locala la inceputul calatoriei. Ora rasaritului si cea a apusului, precum si miscarile Lunii si ale stelelor depind de longitudine, facand astfel posibila determinarea longitudinii prin compararea orei locale cu cea indicata de ceas.Povestea inventarii cronometrului de catre John Harrison, care a rezolvat astfel problema, este relatata in cartea lui Dava Sobel Longitudinea.

    La ce ne ajuta coordonatele

    Noi contribuim sa folosim coordonatele pentru cartografiere, dar o alta aplicatie obisnuita a geometriei coordonatelor se intalneste la bursa, unde fluctuatiile unor preturi sunt inregistrate sub forma unei curbe. Cantitati uriase de date stiintifice si financiare sunt inregistrate in acest fel.

    Daca ti-a placut acest articol, daca doresti sa afli mai multe despre cursurile de dezvoltare personala si meditatii la matematica , cum te pot ajuta si de ce sunt utile , astept un mesaj pe email.:contact@meditatii.eu.
    Inscrie-te la newsletter, vei primi informatii utile si oferte speciale, dedicate numai celor care se aboneaza.

    „Citat din: Imblanzirea Infinitului de Ian Stewart”

    Trigonometria – Originile trigonometriei

    18 octombrie 2017
    Roxana Iancu
    No comments
    Categories: Articole, Geometrie si Trigonometrie

    Trigonometria a generat cateva functii speciale – reguli matematice pentru calculul unei cantitati .Aceste functii au nume precum sinus, cosinus si tangenta. Functiile trigonometrice s-au dovedit a fi de o importanta imensa pentru intreaga matematica, nu doar pentru masurarea triunghiurilor.
    Trigonometria este una dintre cele mai folosite tehnici matematice, fiind implicata in toate, de la topografie si navigatie la sistemele GPS din automobile.
    Folosirea sa in stiinta si tehnologie e atata de obisnuita incat de regula trece neobservata, ca orice instrument universal.Din perspectiva istorica,ea a fost strans legata de logaritmi,o metoda ingenioasa de a transforma inmultirea (care e dificila) in adunare (care e mai simpla).Ideile principale au aparut intre 1400 si 1600, insa cu o lunga perioada pregatitoare si multe imbunatatiri ulterioare, iar notatia inca mai evolueaza.

    Originile trigonometriei

    Problema de baza pe care si-o pune trigonometria e calculul proprietatilor unui triunghi – lungimile laturilor, dimensiunile unghiurilor – din alte asemenea proprietati. E mult mai usor sa prezentam istoria veche a trigonometriei daca rezumam mai intai trasaturile principale ale trigonometriei moderne, care este in mare masura o reluare cu notatiile secolului XVIII a unor subiecte datand de pe vremea grecilor antici sau chiar dinainte.Acest rezumat ne ofera cadrul in care putem prezenta ideile anticilor, fara sa ne impiedicam in notiuni obscure si in cele din urma vetuste.

    Trigonometria pare sa provina din astronomie, unde e destul de usor sa masuram unghiurila, dar dificil sa masuram imensele distante. Astronomul grec Aristarh, in lucrarea sa Despre dimensiunile si distantele Soarelui si Lumii, de pe la 260 I.Cr, a dedus ca Soarele se afla la Pamant la o distanta cam intre 18 si 20 de ori mai mare decat distanta de la Pamant la Luna.(cifra corecta este mai aproape de 400, dar Euxodiu si Phidias sustinusera cifra 10).
    Rationamentul sau era ca atunci cand Luna este pe jumatate plina, unghiul dintre directiile in care se afla Soarele si Luna este de aproximativ 87 grade(in unitati moderne). Folosind proprietati ale triunghiurilor care conduc la estimari trigonometrice, el a dedus (ca notatia moderna) ca sin 3 grade se afla intre 1/18 si 1/20 , ceea ce a dus la aproximarea sa pentru raportul dintre distantele pana Soare si Luna. Metoda era buna, dar observatia era imprecisa, unghiul corect fiind 89,8 grade.

    Primele tabele trigonometrice au fost alcatuite de Hiparh pe la 150 I. Cr.
    In locul functiei moderne sinus, el a folosit o marime foarte apropita, care din punct de vedere geometric era la fel de fireasca.Sa ne imaginam ca un cerc cu doua raze intalnindu-se sub un unghi teta.Punctele in care razele intersecteaza cercul pot fi unite printr-o dreapta numita coarda.Ele pot fi considerate de asemenea capetele unei parti a cercului numita arc de cerc.

    Daca ti-a placut acest articol, daca doresti sa afli mai multe despre cursurile de dezvoltare personala si meditatii la matematica , cum te pot ajuta si de ce sunt utile , astept un mesaj pe email.:contact@meditatii.eu.
    Inscrie-te la newsletter, vei primi informatii utile si oferte speciale, dedicate numai celor care se aboneaza.

    „Citat din: Imblanzirea Infinitului de Ian Stewart”

    Aryabhata, Bahmaguta, Mahavira si Bhaskara – principalii matematicieni indieni

    16 octombrie 2017
    Roxana Iancu
    No comments
    Categories: Articole, Matematicieni

    Principalii matematicieni indieni au fost Aryabhata (nascut in 476 D.Cr), Brahmagupta (nascut in 598 d.Cr), Mahavira (secolul IX) si Bhaskara (nascut in 1114). De fapt, ei ar trebui numiti astronomi, deoarece matematica era considerata pe atunci o tehnica astronomica. Matematica,atata cata exista,aparea in texte de astronomie, nu era privita ca un domeniu de sine statator.

    Aryabhata  spune ca a scris cartea sa Aryabhatiya la varsta de 23 ani.Desi scurta, sectiunea de matematica a cartii este consistenta:un sistem alfabetic al numeralelor, reguli de aritmetica, metode de rezolvare a ecuatiilor liniare sau patratice, trigonometrie (inclusiv functia sinus si “sinusul invers”).
    Exista de asemenea o excelenta pentru numarul pi:3.1416.

           Brahmagupta este autorul a doua carti: Brahma Sputa Siddhanta si Khanda Khadyaka.Prima e cea mai importanta; este un text de astonomie cu mai multe sectiouni de matematica, cu aritmetica si echivalentul verbal al algebrei elementare.A doua carte include o metoda remarcabila pentru tabelele de interpolare a functiei sinus – aflarea sinusului unui unghi folosind sinusurile unui unghi mai mare si unuia mai mic.

           Mahavira era jainist si a introdus multa matematica jainista in cartea sa Ganita Sara Samgraha. Aceasta include mare parte din continutul cartilor lui Aryabhata si Brahmagupta, dar merge mult mai departe si e mai complexa.
    Ea cuprinde fractii, permutari si combinatii, solutia ecuatiilor patratice, triunghiurile lui Pitagora si o incercare de a afla aria si perimetrul elipsei.

           Bhaskara (numit “dascalul”) a scris trei lucrari importante:Lilavati, Bijaganita si Siddhanta Siromani. Conform marturiei lui Fyzi, poetul de curte al imparatului mogul Akbar, Lilavati era numele fiicei lui Bhaskara.El a cercetat horoscopul fetei,stabilind perioada cea mai propice pentru nunta ei.
    Si-a pus in scena previziunea asezand intr-un vas cu apa o cupa in care era un orificiu,astfel incat aceasta sa se scufunde la sosirea momentului de bun augur.
    Lilavati insa s-a aplecat peste vas, iar o perla din rochia ei a cazut in cupa, astupand orificiul.cupa nu s-a scufundat, iar astfel Livanti nu s-a mai putut casatori niciodata.Ca s-o consoleze Bhaskara a scris o carte de matematica pentru ea.Legenda nu ne spune ce parerea a avut Lilavati.
    Lilavati contine idei subtile de aritmetica, inclusiv criteriul de divizibilitate cu 9, conform caruia numerele divizibile cu 9 sunt numerele ale caror cifre adunate ne dau un numar divizibil cu 9.Contine reguli similare pentru divizibilitatea cu 3,5,7 si 11.E lamurit rolul lui zero ca numar de sine statator.Bijaganita se ocupa de rezolvarea ecuatiilor.Siddhanta Siromani se ocupa de trigonometrie:tabele pentru sinus si diverse relatii trigonometrice.Renumele lui Bhaskara a fost atat de mare, incat lucrarile lui continuau sa fie copiate chiar si pe la 1800.

    Sistemul indian

    Sistemul indian a inceput sa se raspandeasca in lumea araba inca inainte sa se fi dezvoltat complet in tara de origine.Invatatul Severus Sebokht vorbeste despre folosirea sa in Siria in 662:”N-am sa pomenesc nimic despre stiinta indienilor, despre descoperirile lor subtile in astronomie si despre pretioasele lor metode de calcul.Vreau numai sa spun ca acest calcul este facut cu ajutorul a noua semne.”
    In 776 un calator din India a aparut la curtea califului si si-a demonstrat maiestria in metoda de calcul “siddhanta” , precum si trigonometrie si astronomie. Referinta pentru metodele de calcul pare sa fi fost Brahma Sphuta Siddhanta lui Brahmagupta, scrisa in 628, dar oricare va fi fost cartea, ea a fost tradusa imediat in araba.
    Initial cifrele indiene erau folosite mai ales la invatati; metodele mai vechi au fost folosite in continuare de negustori si in viata de zi cu zi, pana pe la 1000.Dar cartea lui Al – Khwarizmi Despre calculul cu cifre indiene (Ketab fi Isti ‘mal al -Adad al Hindi) din 830 a facut cunoscut faptul ca toate calculele numerice se puteau efectua folosind numai zece cifre.

    Daca ti-a placut acest articol, daca doresti sa afli mai multe despre cursurile de dezvoltare personala si meditatii la matematica , cum te pot ajuta si de ce sunt utile , astept un mesaj pe email.:contact@meditatii.eu.
    Inscrie-te la newsletter, vei primi informatii utile si oferte speciale, dedicate numai celor care se aboneaza.

    „Citat din: Imblanzirea Infinitului de Ian Stewart”

     

    Hypatia din Alexandria (370-415 d.Cr) – prima femeie matematician mentioanata de istorie

    16 octombrie 2017
    Roxana Iancu
    No comments
    Categories: Articole, Matematicieni

          Hypatia este prima femeie matematician mentionata de istorie. Era fiica lui Theon din Alexandria, el insusi matematician, si probabil ca a invatat matematica de la el. Pe la anul 400 a devenit conducatoarea scolii platoniciene din Alexandria, predand filozofie si matematica.

    Mai multe surse istorice afirma ca era o profesoara stralucita. Nu stim daca Hypatia a avut o contributie originala in matematica, dar l-a ajutat pe Theon sa scrie un comentariu la Almagesta de Ptolomeu si e posibil sa-l fi ajutat si la pregatirea unei noi editii a Elementelor, pe care s-au bazat toate editiile ulterioare. A scris comentarii asupra Aritmeticii lui Diofant si Conicelor lui Apoloniu.
    Printre elevii Hypatiei se numarau cateva figuri importante ale crestinismului aflat in plina expansiune, precum Synesios din Cyrene. S-au pastrat cateva scrisori ale lui catre ea in care ii elogiaza calitatile. Din pacate, multi dintre primii crestini au considerat filozofia si stiinta Hypatiei inradacinate in paganism si s-au temut de influenta ei.
    In 412, noul patriarh al Alexandriei, Chiril, s-a angajat intr-o disputa politica cu prefectul roman Osteres.
    Hypatia era prietena buna cu Osteres, iar talentele ei de profesor si orator erau privite ca o amenintare de catre crestini. A devenit o tinta pentru tulburarile politice si a fost sfasiata de gloata dezlantuita.

    O sursa da vina pe o secta fundamentala, calugarii Nitrieni, care il sustineau pe Chril. Alta da vina pe o banda din Alexandria.O a treia sursa sustine ca ea facea parte dintr-o conspiratie politica si moartea ei era inevitabila.

    Daca ti-a placut acest articol, daca doresti sa afli mai multe despre cursurile de dezvoltare personala si meditatii la matematica , cum te pot ajuta si de ce sunt utile , astept un mesaj pe email.:contact@meditatii.eu.
    Inscrie-te la newsletter, vei primi informatii utile si oferte speciale, dedicate numai celor care se aboneaza.

    „Citat din: Imblanzirea Infinitului de Ian Stewart”

    Lege si dezordine – A doua lege a termodinamicii

    12 octombrie 2017
    Roxana Iancu
    No comments
    Categories: Articole, Dezvoltare Personala

    dS > 0

    d=variatia
    S=entropia

    Ce spune?

    Cantitatea de dezordine dintr-un sistem termodinamic intotdeauna creste.

    De ce este importanta?

    Stabileste o limita pentru lucrul mecanic util care poate sa fie obtinut din caldura.

    La ce anume a condus?

    Motoare cu aburi perfectionate,estimari ale eficientei energiei regenerabile, scenariul “mortii termice a universului”, dovada ca materia este formata din atomi si conexiuni paradoxale cu sageata timpului.

    In luna mai a anului 1959, fizicianul si scriitorul C.P Snow a tinut o prelegere intitulata The Two Cultures – Cele doua culturi, care a provocat o larga controversa.
    Raspunsul cunoscutului critic literar F.R Leavis a fost caracteristic pentru tabara opusa; el a spus sec ca exista o singura cultura:a lui. Snow a sugerat ca stiinta si umanul au pierdut contactul intre ele si sustinea ca acest fapt complica rezolvarea problemelor lumii . Observam aceeasi situatie si in zilele noastre, in schimbarea negarii climatice si atacurile la adresa evolutiei.Motivatiile pot fi diferite, dar barierele culturale ajuta ca asemenea nonsensuri sa se dezvolte rapid – cu toate ca politica este cea care le produce.
    Snow era nemultumit in special de ceea ce el considera ca fiind reducerea standardelor in educatie, spunand:
    De foarte multe ori am fost prezent la adunari de oameni care,potrivit standardelor cilturii traditionale, sunt considerati deosebit de educati si care si-au exprimat cu un considerabil elan scepticismul privitor la incultura oamenilor de stiinta.O data sau de doua ori am fost provocat si am intrebat onorata adunare cati dintre ei puteau sa enunte a doua lege a termodinamicii,legea entropiei.Raspunsul a fost rece:si negativ.Cu toate acestea, intrebam un lucru care reprezenta echivalentul stiintific al intrebarii:”Ai citit vrei scrisoare de-a lui Shakespeare?”

    Probabil ca a considerat ca ceruse prea mult – multi oameni de stiinta calificati nu stiu sa enunte legea a-2-a a termodinamicii. Asa ca, ulterior a adaugat:

    Acum cred ca, daca as fi pus o intrebare si mai simpla – cum ar fi “Ce se intelege prin masa,acceleratie?”, care este echivalenturl stiintific al intrebarii “Stii sa citesti?” – nu mai mult de una din zece asemenea persoane ar fi considerat ca vorbim aceeasi limba.Prin urmare, maretul edificiu al fizicii moderne se inalta,iar majoritatea oamenilor cei mai destepti din lumea occidentala pricep din el la fel de mult cat ar fi priceput si stramosii lor din Epoca de Piatra.

    Luandu-l pe Snow in sens literal,scopul meu in acest capitol este sa iesim din Epoca de Piatra.Cuvantul “termodinamica” are inclus in el indiciul:ar putea sa insemne dinamica caldurii.Este posibil pentru caldura sa fie dinamica?Da, caldura poate circula.Se poate deplasa dintr-un loc in altul.Iesi afara intr-o zi de iarna si imediat o sa tie se faca frig.Fournier scrisese primul model serios de circulatie a caldurii (vezi capitolul 9) si stabilise un fundament matematic frumos.Insa principalul motiv pentru care oamenii de stiinta incepeau sa fie interesati de circulatia caldurii a fost un nou dispozitiv tehnologic modern si foarte probabil:motorul cu aburi.

    Exista o poveste adeseori repetata, despre James Watt cand era copil, cum statea in bucataria mamei sale si se uita la aburul incins care impingea capacul unui ceainic,cand ar fi fost strafulgerat de inspiratie:aburul poate sa faca lucru mecanic.
    Si astfel,cand s-a facut mare , a inventat motorul cu abur.Este o poveste care te inspira profund,dar asemenea multor povesti asemanatoare,este doar o poveste.Watt a inventat motorul cu abur si a aflat despre forta aburului abia cand era adult.Concluzia povestii privitoare la forta aburului este adevarata, dar pana si pe vremea lui Watt era ceva de mult cunoscut.

    In jurul anului 50 I.Hr., arhitectul si inginerul roman Vitruvius a descris o masina numita “aeolipil”, in lucrarea lui De Arhitectura – Despre arhitectura, iar matematicianul si inginerul grec Heron din Alexandria a construit una, un secol mai tarziu.Era vorba despre o sfera goala in care se afla apa, cu doua tuburi iesind din ea curbate, ca in figura 46. Se incalzeste sfera, apa se transforma in abur, evacuat prin capetele tuburilor, iar reactia face sfera sa se roteasca.A fost primul motor cu abur si a demonstrat ca aburul putea sa faca lucru mecanic, insa Heron nu a mers mai departe,dincolo de distractia publicului.A facut, totusi, o masina similara folosind aer cald intr-o incinta inchisa, care tragea o funie care deschide usile unui templu.
    Aceasta masina avea o aplicatie practica, producand un miracol religios, insa nu era o masina cu abur.
    Watt a aflat ca aburul putea sa fie o sursa de energie in anul 1762, cand avea 26 de ani.Nu a facut descoperirea urmarind un ceainic:prietenul sau, John Robinson,profesor de filozofie naturala la Universitatea din Edinburg, I-a vorbit despre acest lucru.Insa forta practica a aburului era mult mai veche.Descoperirea ei este adeseori atribuita inginerului si arhitectului italian giovanni Branca, a carui Le Machine – Masina din anul 1629 continea 63 de gravuri de nascociri mecanice.Una dintre ele infatiseaza o roata cu zbaturi care se roteste in axa sa cand aburul dintr-o teava loveste in aripile ei.Branca a speculat ca aceasta masina putea sa fie utila pentru macinarea fainiii,ridicarea apei si taierea lemnului, dar probabil ca nu a fost construita nicioadata.A fost mai curand un experiment mental, un vis mecanic,precum masina zburatoare a lui Leonardo da Vinci.
    In orice caz,Branca a fost anticipat de Taqi al-Din Muhammad ibn Ma’ruf al-Shami al-Asadi, care a trait in jurul anului 1550 in Imperiul Otoman si a a fost considerat in mod aproape general cel mai mare om de stiinta al epocii sale.Ralizarile lui sunt impresionante.S-a ocupat de tot,de la astrologie la zoologie,inclusiv mestesugul construirii ceasurilor,de medicina,filosofie si teologie si a scris peste 90 de carti.In lucrarea sa din anul 1551, intitulata Al-turuq al-samiyya fi al-alat al-ruhaniyya – Metodele sublime ale masinilor spirituale, al-Din a descris o turbina primitiva cu abur,spunand ca putea sa intoarca,cat ai clipi,carnea pusa la prajit.
    Primul motor cu adevarat practic a fost o pompa cu apa inventata de Thomas Savery in anul 1698.Primul care a realizat un profit comercial,construit de Thomas Newcomen in anul 1712,a declansat Revolutia Industriala.Insa motorul Newcomen a fost foarte ineficient.Contributia lui Watt a constat in introducerea unui condensator special pentru abur,reducand pierderea fara caldura.Pus la punct folosindu-se de sumele de bani asigurate de antreprenorul Matthew Bolton,acest nou tip de motor folosea doar un sfert din cantitatea de carbuni la Tipon, unul la fierariile din Shrooshire si unul la Londra.
    Motoarele cu abur realizau o multitudine de functii industriale, dar de departe,cea mai obisnuita a fost pomparea apei din mine.Dezvoltarea unei mine costa foarte multi bani,dar pe masura ce straturile superioare erau epuizate minerii erau fortati sa sape mai adanc in pamant si ajungeau la panza freatica.Merita sa se mai cheltuiasca ceva bani pentru pomparea apei afara din mina,de vreme ce alternativa era sa se inchida mina si sa o ia de la capat in acelasi timp – si acest lucru este posibil ca nici macar sa nu fie fezabil.Insa nimeni nu voia sa plateasca mai mult decat era obligat, astfel incat un fabricant care putea sa proiecteze si sa construiasca un motor cu abur mai eficient putea sa ocupe o pozitie pe piata.Asa ca intrebarea fundamentala,cat de eficient poate sa fie un motor cu abur,isi cerea un raspuns ferm. Iar raspunsul a facut mai mult decat sa descrie limitele motoarelor cu abur:a creat o noua ramura a fizicii,ale carei aplicatii au fost aproape nelimitate.noua fizica a scos la lumina intreaga materie,de la gaze la structura intregului univers;se aplica nu numai materia moarta a fizicii si chimiei,ci poate chiar si proceselor complexe ale vietii insasi.
    A fost numita termodinamica:miscarea caldurii.Si, la fel cum legea conservarii energiei in mecanica respinge posibilitatea construirii oricarui fel de masina de tip perpetuum mobile, legile termodinamicii au respins cu totul posibilitatea construirii oricarui fel de masini similare care ar folosi caldura.Una dintre aceste legi,prima lege a termodinamicii, a dezvaluit o noua forma de energie asociata cu caldura si a extins legea conservarii energiei (capitolul 3) la noul domeniu al motoarelor termice.O alta, fara niciun fel de precedent, a aratat ca anumite moduri potentiale de schimbare a caldurii, care nu intrau in conflict cu conservarea energiei,erau totusi imposibile,pentru ca ar fi trebuit sa creeze ordine din dezordine.Aceasta a fost a doua lege a termodinamicii.

    „Citat din: 17 ecuatii care au schimbat lumea de Ian Stewart”

    Patrulatere convexe

    11 octombrie 2017
    Roxana Iancu
    No comments
    Categories: Articole, Geometrie si Trigonometrie

    Un patrulater se numeste patrulater convex daca prelungind oricare dintre laturi toate celelalte sunt situate de aceeasi parte a ei.

           Suma masurilor unghiurilor unui patrulater convex este egala cu 360 grade.

     

    Tipuri de patrulatere convexe:

    1.Paralelogramul: Este patrulaterul convex care are laturile opuse paralele.

    Proprietati:

    -laturile opuse sunt congruente;
    -unghiurile opuse sunt congruente;
    -unghiurile alaturate sunt suplementare (suma masurilor este de 180 grade);
    -diagonalele se injumatatesc;

    Perimetrul paralelogramului este egal cu suma lungimilor laturilor:

    P=AB+BC+CD+AD

    dar stim ca AB = CD si AD = BC prin urmare

    P = 2 (AB + BC)

    Aria paralelogramului este egala cu produsul dintre o latura si innaltimea corespunzatoare ei.

    A = AB X DE

    2.Dreptunghiul: Este paralelogramul cu un unghi drept.

    Proprietati:

    -laturile opuse sunt congruente;
    -toate unghiurile sunt drepte;
    -diagonalele sunt congruente si se injumatatesc;

    Perimetrul dreptunghiului este : P = 2 (AB+BC)

     

    Aria dreptunghiului ABCD este egala cu produsul dintre AB si BC.

    Rombul: Este paralelogramul cu doua laturi consecutive congruente.

    Proprietati:

    -toate laturile sunt congruente;
    -unghiurile opuse sunt congruente;
    -diagonalele sunt perpendiculare,se injumatatesc;
    -diagonalele sunt bisectoarele unghiurilor rombului;

    Perimetrul rombului este egal cu suma lungimilor laturilor.

    P = 4 L

     

    Aria rombului este jumatate din produsul diagonalelor :

    A=AC X BD : 2

     

    Patratul: Este rombul cu un unghi drept, sau dreptunghiul cu doua laturi consecutive congruente.

    Proprietati:

    – toate laturile sunt congruente
    – toate unghiurile sunt drepte
    – diagonalele sunt perpendiculare
    – diagonalele sunt congruente, se injumatatesc, sunt bisectoare pentru unghiurile patratului

    P = 4 L

    Aria: A = L X L

    Trapezul: Este patrulaterul convex care are doua laturi neparalele.

    Clasificare:

    a)Trapez isoscel: laturile neparalele sunt congruente

    b)Trapez dreptunghic: una din laturile neparalele este perpendiculara pe baza

    Intr-un trapez isoscel unghiurile alaturate unei baze sunt congruente.
    Intr-un trapez isoscel diagonalele sunt congruente.
    Segmentul care uneste mijloacele laturilor neparalele se numeste linie mijlocie a trapezului. Lungimea acesteia este egala cu semisuma bazelor.

    Perimetrul trapezului este egal cu suma lungimilor laturilor:

    P=AB+BC+CD+AD

    Daca ti-a placut acest articol, daca doresti sa afli mai multe despre cursurile de dezvoltare personala si meditatii la matematica , cum te pot ajuta si de ce sunt utile , astept un mesaj pe email.:contact@meditatii.eu.
    Inscrie-te la newsletter, vei primi informatii utile si oferte speciale, dedicate numai celor care se aboneaza.

     

    Clasificarea triunghiurilor

    10 octombrie 2017
    Roxana Iancu
    No comments
    Categories: Articole, Geometrie si Trigonometrie

    Dupa lungimea laturilor triunghiurile se impart in:

    a) Triunghi oarecare – Este triunghiul cu laturile de lungimi diferite. Se mai numeste scalen.
    b) Triunghi isoscel – Este triunghiul cu doua laturi congruente
    c)Triunghi echilateral – Este triunghiul cu toate laturile egale.

    Dupa masura unghiurilor triunghiurile se impart in:

    a)Dreptunghice -sunt triunghiurile cu un unghi drept.
    b)Obtuzunghice-sunt triunghiurile cu un unghi obtuz
    c)Ascutitunghice-sunt triunghiurile cu toate unghiurile ascutite.

    Triunghiul isoscel:

    Principalele proprietati ale triunghiului isoscel:

    a)Inaltimea corespunzatoare bazei este bisectoare,mediana,mediatoare.
    b)Unghiurile alaturate bazei sunt congruente.
    c)Inaltimile si medianele corespunzatoare laturilor congruente sunt congruente.
    d)Bisectoarele unghiurilor alaturate bazei sunt congruente.

    Triunghiul echilateral:

    Principalele proprietati ale triunghiului echilateral:

    a)Toate unghiurile sunt congruente:fiecare cu masura de 60 grade;
    b)Bisectoarele coincid cu medianele,inaltimile si mediatoarele (cele care pornesc din acelasi varf).

    Congruenta triunghiurilor:

    Criteriile de congruenta ale triunghiurilor sunt:

    1. L.U.L (latura-unghi-latura):Doua triunghiuri oarecare care au cate doua laturi si unghiurile cuprinse intre ele respectiv congruente sunt congruente.

    2.U.L.U (unghi-latura-unghi):Doua triunghiuri oarecare care au cate o latura si unghiurile alaturate ei respectiv congruente sunt congruente.

    3.L.L.L (latura-latura-latura):Doua triunghiuri oarecare care au laturile respectiv congruente sunt congruente.

    4.L.U.U (latura-unghi-unghi):Doua triunghiuri oarecare care au cate o latura,unghiul opus si un unghi alaturat ei, respectiv congruente sunt congruente.