Inventii care au schimbat lumea – Hartile (6200 I.H)

Harta este reprezentarea bidimensionala a unei parti sau a intregii suprafete terestre. O harta se deosebeste de un tablou prin faptul ca reprezinta schematic peisajul asa cum ar fi vazut de sus.Poate varia ca scara,de la reprezentarea unui singur asezamant la cea a unei regiuni sau a unui continent,chiar pana la reprezentarea intregii lumi.
Cea mai veche harta din lume a fost desenata pe peretele unei case din Catal Huyuk,in 6200 i.H.
Descoperit in 1958 in sudul Turciei de astazi,in apropierea orasului modern Konya.Catal Huyuk a fost un sat foarte mare (aproape un oras) din Epoca de Piatra, datand din 7500 i.H. Era asezat pe o movila ,cu vedere la tinutul bogat in grane al campiei Konya. Sapaturile arheologice efectuate de James Mallaert, intre anii 1961 si 1965, au facut situl cunoscut in toata lumea ca reprezentant al unei culturi neolitice avansate.
Oamenii satului neolitic s-au numarat printre cei mai vechi fermieri. Casele erau grupate atat de aproape una de cealalta,incat oamenii puteau trece de pe un acoperis pe altul,intrand in casa pe sus, printr-o gaura in acoperis,si coborand innauntru pe o scara. In cele trei camere ale acestor case uimitor de curate,ingrijite si neted tencuite se gaseau picturi murale si sculpturi pline de simbolistica religioasa.
Unul dintre desenele de pe pereti era o harta. Aceasta infatiseaza neindoielnic o asezare si varfurile gemene ale vulcanului Hasan Dag, aflat la 150 de kilometri de Catal Huyuk.O vreme,arheologii au presupus ca asezarea pe harta era Catal Huyuk.,dar se pare ca era de fapt o alta asezare neolitica aflata mai aproape de vulcan. Daca este asa desenul demonstreaza o putere imaginativa remarcabila; este harta unui alt loc, poate a locului din care venisera oamenii din Catal Huyuk.
Astazi avem tendinta de a vedea in harti descrieri stiintifice si obiective ale locurilor. In practica,ele sunt extrem de subiective,fiindca sunt selective.Cartograful si editorul sau hotarasc ce sa includa, ce sa excluda si ce sa scoata in evidenta.Harta publicata reflecta aproape intotdeauna valorile si interesele celui care a realizat-o si ale celui care a comandat-o.In trecut obiectivismul era mai evident.
Viziunea oamenilor asupra lumii era puternic influentata de credinta religioasa,la fel cum era afectata si viziunea asupra structurii si functionarii sistemului solar; nu trebuie decat sa ne gandim la conflictul dintre Galileo Galilei si Biserica declansat in momentul in care a sugerat ca soarele – si nu pamantul-se afla in centrul sistemului solar. Hartile medievale”T- O”, precum harta de la Hereford,realizata pe la 1300,plasau Ierusalimul in centrul lumii,care era considerata (cel putin de catre unii) un disc plat si desenata asadar ca un cerc. Continentele erau infatisate ca figuri geometrice. Desenul era nu doar o harta, ci si o declaratie de credinta.Astazi avem un mod normal, nordul in partea de sus a unei harti. Europa Crestina medievala punea sus estul,directia Ierusalimului.
In aceeasi perioada s-au facut insa si harti care semanau cu cele moderne prin faptul ca respectau fidel forma coastelor. Erau hartile de navigatie ale tinuturilor mediteraneene.Pe ele sunt reprezentate in detaliu liniile de coasta , cu capurile usor accentuate si denumite cu grija,astfel incat navigatorii sa poata “sari” cu usurinta golfurile Mediteranei.Iata ca inca din Evul Mediu hartile demonstrau ca oamenii diferiti vad lumea in feluri diferite.
Hartile moderne, dupa cum e de asteptat, sunt foarte diverse. Sunt realizate in scopuri foarte diferite si isi arata fatis selectivitatea.
Atlasurile contin adeseori o sectiune cu harti specializate ale lumii, fiecare prezentand o alta caracteristica sau variabila.Una este harta fizica,ce infatiseaza inaltimile terenului in diverse nuante de verde si cafeniu si adancimile marilor si raurilor.Alta este harta densitatii populatiei,care prezinta zonele aglomerate ale lumii in nuante de rosu,iar pe cele slab populate in galben si alb.
Grupurile cu interese speciale isi produc adeseori propriile harti.Arheologii interesati de megalitati publica harti care indica pozitia cercurilor de piatra si a camerelor mortuare,ciclistii au harti cu pistele pentru biciclete, iubitorii drumetiilor au la dispozitie carti intregi cu trasee recomandate.
Pana si seria hartilor oficiale britanice,Ordonate Survey,a fost creata tot pentru a raspunde necesitatilor specializate.Artileria avea nevoie de harti precise,cu scara de 1 inch la mila pentru a actiona eficient in eventualitatea unei invazii franceze. Cartografierea Sussexului s-a facut in timpul Revolutiei Franceze,1789-1792,o perioada de enorma incordare intre Franta si Britania.
Coordonatorul,Thomas Budgen, a inregistrat scrupulos amplasarea fiecarui front sau cazarmi si reperele utile artileristilor, mai ales turnurile bisericilor si morile de vant.Pentru miscarile de trupe era necesara inregistrarea exacta a retelei de orase,sate si drumuri.
Rezultatul este o harta care pare a fi completa si obiectiva,dar este, de fapt, harta unei tari care se pregateste in vederea unei invazii,o harta de razboi.

Citat din Inventii care au schimbat lumea, de la roata la masina de calcul de Rodney Castleden

Inventii care au schimbat lumea – Rigla de calcul (1614)

Rigla de calcul seamana la prima vedere cu o rigla obisnuita, dar functioneaza foarte diferit.Consta din doua scari sau rigle divizate fin,una dubla si fixa in exterior si una interioara mobila.Este dotata,de asemenea cu o fereastra glisanta denumita cursor.Inainte de inventarea calculatorului de buzunar,catre sfarsitul secolului al XX-lea,rigla de calcul este instrumentul de calcul cel mai frecvent folosit in tehnica si in stiinta.Utilizarea riglei de calcul a continuat cu sa creasca pana si in anii 1960,cand au fost introduse treptat calculatoarele digitale.In anii 1970,dupa aparitia calculatorului electronic stiintific,piata riglelor de calcul s-a prabusit.Odata cu inventarea calculatorului,rigla de calcul s-a demodat cat ai clipi din ochi.

Rigla de calcul executa poperatii matemarice utilizand distante marcate de-a lungul scarilor divizate neliniar.Una dintre operatiile cele mai simple care pot fi realizate cu rigla de calcul este inmultirea directa.Daca nu se poate spune cu certitudine cine a inventat telescopul in secolul al Xvii-lea, oalta disputa majora a vremii l-a vizitat pe inventatorul riglei de calcul.

Unul dintre cei implicati a fost Edmund Gunter (1581-1626).

Lucrarea de capatai a acestuia , Descrierea si utilizarea sectorului, a fost publicata(in limba engleza) in anul 1623.Mai tarziu avea sa fie descrisa drept “cea mai importanta contributie la stiinta navigatiei publicata in secolul al Xvii-lea”.Sectorul, in acest context,era un instrument matematic.Consta din doua brate articulate pe care erau gravate scari cu ajutorul carora se puteau face calcule.Sectorul lui Gunter nu era o rigla de calcul,dar era inovativ din cauza ca era primul instrument matematic inscriptionat cu o scara logaritmica, cu ajutorul careia se puteau rezolva probleme de calcul.Era utilizat in combinatie cu busola,dar,in practica,acele busolei deteriorau scarile gravate si reduceau precizia instrumentului.

Un alt pretendent la titlul de “inventator al riglei de calcul” este William Oughtred(1574-1660),cleric si matematician.Lui Oughtred I se atribuise inventarea simbolului “x” pentru inmultire,in 1628; simbolul a fost publicat in 1631 in cartea sa Cheia Matematicii, care avea sa devina un manual de referinta.Newton a citit lucrarea si a fost profund influentat de ea.

Astazi William Oughred este recunoscut unanim drept inventatorul riglei de calcul.In 1632 a scris Cercurile proportiei si instrumentul orizontal,in care descria atat riglele de calcul drepte,cat si pe cele circulare,dar exista dovezi potrivit carora inventase riglele de calcul cu doar cativa ani inainte si, pur si simplu,nu apucase sa isi faca inventia publica.

Un al treilea personaj in aceasta disputa din secolul al XVII-lea a fost Richard Delamain(1600-1644).Preda Matematica(i-a fost profesor lui Carol I) si studiase , el insusi, cu William Oughtred.
Cartea lui Delamain Grammelogia contine o prima descriere a riglei de calcul. Modelul despre care vorbeste este o rigla de calcul circulara,constand din doua discuri metalice prinse in centru intre ele printr-un stift.

Delamain si Oughtred s-au certat ani de zile ,in diversele carti pe care le-au scris,pe tema inventarii riglei de calcul circulare.Colegii lor s-au implicat in m od inevitabil in disputa,care a devenit incinsa.
Delamain era un mare sustinator al facilitarii calculelor prin mijloace mecanice si un impatimit al riglei de calcul. Pentru Oughtred,rigla de calcul era doar un accesoriu.Gasea ca “adevarata cale catre arta nu sta in instrumente,ci in demonstratie;si este ridicol sa-ti transformi discipolii in simplii executanti de trucuri,ca si cum ar fi jongleri…Utilizarea instrumentelor este excelenta, daca omul este artist,dar lamentabila,fiind opusa artei.” Oughtred sustinea ca el inventase rigla de calcul,dar nu vazuse o prioritate in publicarea ei.
Cand cearta a ajuns la apogeu ,Delamain si Oughtred s-au acuzat unul pe celalalt de furtul inventiei.

Adevarul pare a fi ca Oughtfred si Delamain au inventat rigla de calcul circulara in mod independent in aceeasi perioada , desi Delamain a publicat primul descrierea instrumentului pe care-l numea “inel matematic”.Pe de alta parte , rigla lui Oughtred era mai sofisticata.Cercul de proportie al acesteia era mai amanuntit si mai adaptabil.In ceea ce priveste rigla de calcul rectilinie(dreapta), exista prea putine dubii ca inventia ii apartine lui William Oughtred.

Daca ti-a placut acest articol, daca doresti sa afli mai multe despre cursurile de dezvoltare personala si meditatii la matematica , cum te pot ajuta si de ce sunt utile , astept un mesaj pe email.:contact@meditatii.eu.
Inscrie-te la newsletter, vei primi informatii utile si oferte speciale, dedicate numai celor care se aboneaza.

Citat din Inventii care au schimbat lumea, de la roata la masina de calcul de Rodney Castleden

Alan Turing – parintele computerului si a inteligentei artificiale (1912-1954)

Alan Turing a fost un matematician și criptograf britanic născut pe 23 iunie 1912. El este considerat „părintele“ computerelor și al inteligenței artificiale, preconizând că mașinile vor putea gândi, chiar dacă nu o vor face identic oamenilor. În fapt, există și un test care îi poartă numele pentru a verifica dacă un computer poate fi considerat om.
Profesorii lui Alan Turing au recunoscut ,inca de pe vremea cand acesta era elev,ca este un copil precoce,mai ales la matematica si la stiinte.

Toti l-au incurajat, cu exceptia profesorilor si a directorului de la Scoala Sherbourne, unde s-a inscris la varsta de 14 ani.Programa de la Sherbourne punea accent puternic pe invatarea limbii latine si pe studierea literaturii clasice din Roma Antica. Lui Alan nu-i placeau clasicii romani deloc – dorea sa se ocupe numai de matematica elementara, putea sa rezolve probleme complexe.

In ciuda obiectiilor aduse de profesorii sai, Turing s-a dedicat pana la urma matematicii, luandu-si , intr-un final, doctoratul la Universitatea Princeton din Statele Unite.

In timpul petrecut la Princeton si-a dezvoltat interesul pentru criptologie,studiul codurilor.Intors in Anglia, s-a angajat la Scoala Guvernamentala pentru coduri si Cifruri.

Odata cu izbucnirea celui de-al Doilea Razboi Mondial,in 1939,Turing a inceput sa lucreze la Bletcheley Park,mosie de la tara pe care guvernul britanic o transformase in centru de cercetari ultrasecrete.Aici S-au adunat unii dintre cei mai sclipitori matematicieni si criptografi din tara pentru a sparge codurile naziste,mai ales codurile Enigma,considerat cel mai greu de descifrat cifru creat vreodata.Anterior,sparagatorii de coduri abordasera cifrurile asemenea traducerii unei limbi straine,dar Turing si colegii sai stiau ca cifrurile naziste erau infinit mai sofisticate,asa ca s-au folosit de analiza matematica pentru a sparge codurile.

Turing nu numai ca a gasit cheia pentru a sparge codul Enigma,dar a reusit sa rezolve si codul folosit de marina nazista,ceea ce a condus la victoria Aliatilor in Batalia pentru Atlantic.

Daca ti-a placut acest articol, daca doresti sa afli mai multe despre cursurile de dezvoltare personala si meditatii la matematica , cum te pot ajuta si de ce sunt utile , astept un mesaj pe email.:contact@meditatii.eu.
Inscrie-te la newsletter, vei primi informatii utile si oferte speciale, dedicate numai celor care se aboneaza.

Citat din Testeaza-ti IQ-ul Matematic de Thomas J.Craughwell

Ce a facut fiecare Bernoulli?

Familia elvetiana Bernoulli a avut o imensa influenta asupra dezvoltarii matematicii.De-a lungul a patru generatii,membrii ei au avut contributii importante atat in matematica pura,cat si in cea aplicata.Prezentati adesea ca o mafie a matematicii,membfrii familiei Bernoulli si-au inceput carierele in drept, medicina sau teologie,pentru a deveni ulterior matematicieni profesionisti sau amatori.
Multe notiuni matematice poarta numele de Bernoulli. In locul unor detalii biografice,iata un rezumat a ce a facut fiecare.

Jacob I (1654-1705)

Coordonatele polare, formula pentru raza de curbura a unei curbe plane.Curbe speciale,precum lantisorul si lemniscata.
A demonstrat ca o izocrona (o curba de-a lungul careia un corp va cadea cu o viteza verticala uniforma) este o cicloida inversata.
S-a ocupat de figurile izoperimetrice,care au cea mai mica lungime in diferite conditii,ceea ce va conduce mai tarziu la calculul variatiilor.Pionier al studiului probabilitatilor si autor al primei carti cu acest subiect, Ars Conjectandi.a cerut sa I se incrusteze pe piatra tombala o spirala logaritmica, impreuna cu inscriptia Eadem mutata resurgo(Voi reveni acelasi ,si totusi schimbat).

Johann I(1667-1748)

A dezvoltat calculul diferential si l-a promovat in europa.Elevul sau,marchizul de L’Hospital, a inclus in descoperirile lui Johann in primul manual de calcul diferential.”Regula lui L’Hospital” pentru evaluarea limitelor care se reduc la 0/0 I se datoreaza lui Johann.A scris despre optica (reflectia si refractia), traiectorii ortogonale ale familiilor de curbe,lungimea curbelor si evaluarea ariilor prin serii,trigonometrie analitica si functia exponentiala,brachistocrona(curba cu cea mai rapida panta), lungimea cicloidei.

Nicolaus I (1687-1759)

A ocupat catedra de matematica a lui Galileo la Padova.A scris despre geometrie si ecuatii diferentiale.Ulterior a predat logica si dreptul.A fost un matematician inzestrat,dar nu foarte productiv.A corespondat cu Leibniz,Euler si altii-descoperirile sunt raspandite in 560 de documente de corespondenta.
A formulat Paradoxul St.Petersburg din teoria probabilitatilor.
A criticat folosirea abuziva de catre Euler a seriilor divergente.a supravegheat publicarea lucrarii Ars Conjectandi a lui Jacob Bernoulli.L-a sprijinit pe Leibniz in disputa cu Newton.

Nicolaus II (1695-1726)

A fost chemat la academia din St.Petersburg si a murit inecat opt luni mai tarziu.A discutat paradoxul St. Petersburg cu Daniel.

Daniel (1700-1726)

Este cel mai celebru dintre cei trei fii ai lui Johann.A lucrat in probabilitati, astronomie, fizica si hidrodinamica.
Hidrodinamica publicata de el in 1738 contine principiul lui Bernoulli privind relatia dintre presiune si viteza.A scris despre maree,teoria cinetica a gazelor si vibratia corzilor.Pionier al studiului ecuatiilor cu derivate partiale.

Johann II (1710-1790)

Era cel mai tanar dintre cei trei fii ai lui Johann.A studiat dreptul, dar a devenit profesor de matematica la Basel. A lucrat in teoria matematica a caldurii si a luminii.

Johann III (1744-1807)

Asemenea tatalui sau,a studiat dreptul,dar apoi s-a dedicat matematicii.A fost chemat la academia din Berlin la varsta de 19 ani.a scris despre astronomie,probabilitati si zecimale recurente.

Jacob II (1759-1789)

A avut lucrari importante in elasticitate,hidrostatica si balistica.

Daca ti-a placut acest articol, daca doresti sa afli mai multe despre cursurile de dezvoltare personala si meditatii la matematica , cum te pot ajuta si de ce sunt utile , astept un mesaj pe email.:contact@meditatii.eu.
Inscrie-te la newsletter, vei primi informatii utile si oferte speciale, dedicate numai celor care se aboneaza.

„Citat din: Imblanzirea Infinitului de Ian Stewart”

 

Matematica Naturii

  Am putea defini natura ca fiind tot ce ne inconjoara: obiectele, vietuitoarele, fenomenele si chiar noi insine. Nu pretindem a da o definitie a naturii ci doar sa stabilim o ipoteza de lucru oarecum general acceptabila.
Se spune ca primele notiuni matematice au fost impuse omului (mai bine zis unor oameni) de catre Natura insasi.  Din nevoia de a avea evidenta unor obiecte, zice-se, au aparut numerele.
Se mai spune ca, spre exemplu, doi ar fi aparut inaintea lui unu ( Prin inductie am putea spune ca azi n+1 a aparut inaintea lui n, pentru orice n si, la limita, ca infinitul a precedat finitul!). Exista (sau au existat ) triburi care nu puteau numara decat pana la 10. Pentru chinezi, numarul zece mii echivala cu infinitul.
Secolele au trecut, s-a constatat ca multe fenomene ale naturii sunt guvernate de anumite reguli, care au fost numite “legi ele naturii” si ca in exprimarea acestor legi apar sine qua non numerele, precum si ale notiuni matematice. Nu ne propunem aici sa facem analiza  felului cum au aparut aceste legi , nici care sunt ele. Amintim doar, spre exemplu, legea atractiei universale: ”Doua corpuri ceresti se atrag cu o forta invers proportionala cu patratul distantei dintre ele.”
De-a lungul timpului au fost descoperite numeroase legi ale naturii si cautarea lor continua. Se poate avansa ipoteza (pentru unii aceasta este o convingere) ca toate fenomenele naturii se desfasoara dupa legi bine stabilite, desi nu toate aceste legi sunt cunoscute inca.
Pentru descoperirea legilor naturii, matematicienii (adica cei care se ocupa de matematica, in toata puterea cuvantului) au elaborat un aparat urias de notiuni si relatii intre ele (adica teoreme). Trebuie sa remarcam ca pentru un matematician toate aceste notiuni si rezultate au o dubla origine; unele sunt impuse de contextul in care activeaza, iar altele ii sunt impuse din Forul Sau Interior sau Intuitie. Acest aparat urias, Matematica, este poate, cea mai mare constructie a mentalului uman, cu exceptia descoperirii drumului catre Dumnezeu.
Modelarea legilor Naturii prin Matematica este la ora actuala in plin avant, iar Matematica penetreaza toate domeniile activitatii umane sub diverse forme cum ar fi Informatica, Cibernetica,Mecanica etc. Se pare ca matematica va patrunde peste tot!  Cu alte cuvinte putem vorbi despre o Matematica a naturii.
Oare asa sa fie!  Nu putem admite “parti” ale Naturii in care totul se petrece in afara oricarei legii?  Mai departe, ne putem intreba daca toate notiunile si rezultatele Matematicii corespund sau vor corespunde unei legi “obiective” a Naturii.  (Aceasta ultima intrebare devine fara obiect daca admitem Matematica insasi ca fiind integrata in Natura).
La intrebarile de mai sus nu se poate da un raspuns, mai bine zis nu se poate da o “demonstratie” unui eventual raspuns. Este cazul sa ne amintim ca in orice demonstratie exista ipoteze, axiome, teoreme si concluzii. Si mai exista ceva: liantul acestor ingrediente, adica “rationamentul”. Si mai presus de acesta se afla Cel care face rationamentele, Adica Ratiunea.

Dar ce este de fapt Ratiunea?

Ianuarie 1994 Nicolae Popescu

Daca ti-a placut acest articol, daca doresti sa afli mai multe despre cursurile de dezvoltare personala si meditatii la matematica , cum te pot ajuta si de ce sunt utile , astept un mesaj pe email.:contact@meditatii.eu.
Inscrie-te la newsletter, vei primi informatii utile si oferte speciale, dedicate numai celor care se aboneaza.

„ Citat din: Nicolae Popescu Omul – Matematicianul -Mentorul ”

Matematicieni romani si cateva din realizarile lor

Simion Stoilov (1887-1961), renumit matematician roman,care a contribuit la dezvoltarea scolii moderne de matematici de la noi.O parte dintre lucrarile lui sint legate de teoria multimilor si topologie.In 1936 devine membru al Academiei Romane.A fost profesor la Universitatea din Bucuresti, unde, pe langa cursul de teoria functiilor, a predat multe alte cursuri cu subiecte moderne de matematica.

Gheorgehe Lazar a pus bazele invatamantului matematic romanesc din Muntenia, asa cum, in acelasi timp, au facut-o Gheorghe Asachi in Moldova.Pentru scoala de la Sf, Sava, deschisa in 1816 si care a dat tarii primii ingineri, el a elaborat,traducand in romaneste,un curs de aritmetica teoretica,unul de geometrie si altul de trigonometrie.Aceasta scoala a functionat numai pana in 1821,cand s-a inchis odata cu izbucnirea revolutiei la care a luat parte si el ca prieten al lui Tudor Vladimirescu.

Spiru Haret s-a nascut la Iasi.In 1874, a trecut examenul de licenta in stiintele fizico-matematice la Universitatea din Bucuresti,dupa care si-a continuat studiile la Paris.Teza prezentata de el la Sorbona, in 1878, a avut un succes mondialpentru ca ea rezolva una dintre cele mai grele probleme de mecanica cereasca legata de drumul parcurs de planetele sistemului nostru solar.Chiar in 1878 Spiru Haret a fost numit profesor la Universitatea din Bucuresti.In aceasta calitate si apoi ca ministru al invatamantului el a contribuit la organizarea si modernizarea invatamantului de toate gradele,orientandu-l spre cercetarea stiintifica si aplicatii practice.Din 1879 a fost ales membru al Academiei Romane.
Ca omagiu adus pentru contributia sa in domeniul astronomiei,Comisia internationala de denumiri pe Luna a hotarat in 1976, cand s-au sarbatorit 125 de ani de la nasterea savantului sa dea numele Spiru Haret unui caracter de pe partea invizibila a ei.

Ion Ionescu(1870-1946) a fost unul dintre cei mai activi si generosi animatori ai dezvoltarii invatamantului matematic romanesc.Impreuna cu alti profesori a intemeiat si a condus, pana la sfarsitul vietii , revista “Gazeta Matematica”. Pe langa activitatea sa de profesor la Scoala de Poduri si Sosele din Bucuresti si de inginer,el a aratat un deosebit interes pentru istoria matematicilor romanesti,publicand multe articole si lucrari de specialitate.O parte dintre aceste articole,impreuna c u altele de popularizare a matematicii, le-a adunat in doua volume sub titlul:Povestiri stiintifice.

Daca ti-a placut acest articol, daca doresti sa afli mai multe despre cursurile de dezvoltare personala si meditatii la matematica , cum te pot ajuta si de ce sunt utile , astept un mesaj pe email.:contact@meditatii.eu.
Inscrie-te la newsletter, vei primi informatii utile si oferte speciale, dedicate numai celor care se aboneaza.

„ Citat din: Vechi si nou in matematica de Florica T. Campan ”

Metode specifice de rezolvare a problemelor de colinearitate si concurenta

Problemele de colinearitate si concurenta, ca de altfel , si alte probleme de geometrie,prezinta deseori dificultati pentru elevi.Varietatea si multitudinea situatiilor in care apar astfel de probleme ca si a modalitatilor de solutionare nu permit incadrarea lor intr-un numar finit de scheme sau de tehnici de lucru.Exista totusi posibilitatea evidentierii unor cai de rezolvare,de demonstrare a propozitiilor despre colinearitate sau concurenta.
Nu toate problemele de colinearitate si concurenta pot fi incadrate intr-una din metodele prezentate mai jos.

Metode specifice de rezolvare a problemelor de colinearitate

Problemele de colinearitate a unor puncte reprezinta un tip deosebit de probleme de geometrie, ele fiind probleme de demonstratie prin rezolvarea carora se urmareste stabilirea sau verificarea unei relatii, gasirea unor proprietati noi ale figurilor date, justificarea unei afirmatii formulate.Ele reprezinta, in general, adevaruri usor de intuit, dar a caror demonstratie riguroasa necesita rationamente precise si o gama variata de tehnici specifice si solicita din partea celui care rezolva aceste probleme multa inventivitate,cultura matematica si perspicacitate.
Avand in vedere existenta unui numar mare de propozitii matematice foarte elegante ce concluzioneaza proprietati de colinearitate (puncte apartinand aceleiasi drepte), in continuare sunt prezentate unele dintre cele mai utilizate metode de rezolvare a acestui tip de probleme,atat in gimnaziu,cat si in liceu.

a)Cu ajutorul unicitatii paralelei
b)Cu ajutorul identificarii unei drepte ce contine punctele X,Y,Z
c)Cu ajutorul unghiurilor adiacente suplementare
d)Cu ajutorul proprietatilor paralelogramului
e)Cu ajutorul reciprocei teoremei lui Simson
f)Cu ajutorul reciprocei teoremei lui Menelaus

Metode specifice de rezolvare a problemelor de concurenta

Problemele privind concurenta unor drepte,ca si problemele de colinearitate a unor puncte,prezinta adevaruri care sunt, in general , usor de intuit,insa a caror demonstratie riguroasa cere rationamente precise (exacte) si o gama variata de tehnici specifice.
Intalnim astfel de drepte concurente si in triunghiuri ca mediane, mediatoare, inaltimi sau bisectoare, in paralelograme sau trapeze ca diagonale,precum si in probleme combinate. Rezolvarea lor se bazeaza, in prima faza pe gasirea punctului de intersectie, a doua drepte a si b, dupa care, in raport cu datele problemei,se va demonstra ca o a treia dreapta c,trece prin acelasi punct.Punctul gasit va fi punctul de concurenta al dreptei date.

Cele mai utilizate metode de rezolvare a acestui tip de probleme atat in liceu cat si in gimnaziu sunt:

a)Demonstrarea concurentei prin reducerea la o problema de colinearitate
b)Demonstrarea concurentei prin reducerea la concurente cunoscute
c)Demonstram concurenta a trei drepte aratand ca punctul de intersectie a doua din cele trei drepte satisface o proprietate caracteristica punctelor pe care cea de-a treia dreapta. Altfel spus, aratam ca punctul de intersectie a doua din cele trei drepte apartine locului geometric format de punctele celei de-a treia dreapta.
d)Demonstram concurenta a trei drepte d1,d2,d3 aratand ca d1 si d2, respectiv d1 si d3 sunt concurente si punctele lor de concurenta coincid
e)Demonstram ca cele trei drepte verifica conditiile din ipoteza unei teoreme(directe sau reciproce) a carei concluzie conduce la concurenta acestora.

Daca ti-a placut acest articol, daca doresti sa afli mai multe despre cursurile de dezvoltare personala si meditatii la matematica , cum te pot ajuta si de ce sunt utile , astept un mesaj pe email.:contact@meditatii.eu.
Inscrie-te la newsletter, vei primi informatii utile si oferte speciale, dedicate numai celor care se aboneaza.
„Citat din: Metode de rezolvare a problemelor de geometrie de Irina Cretu”

Matematica, poezia si arta

“Matematica pune in joc puteri sufletesti nu mult mai diferite de cele solicitate de poezie si arta”

Ion Barbu

Legatura dintre matematica, poezie si arta a fost exprimata in multe feluri de diferiti poeti si artisti,multi dintre ei avand chiar o formatie matematica.Au existat si exista, dealtfel, multi matematicieni poeti si, de asemenea, poeti care au fost atrasi de studiul matematicilor.Referindu-ne numai la trecut, am putea aminti de Ommar al Khayyam (1084-1123), de James J. Sylvester (1814-1897), de Paul Valery (1871-1945), de Dan Barbilian (1895-1961), care iscalea versurile si proza literara cu pseudonimul Ion Barbu, dar , ca sa nu lungim prea mult lista,vom incheia-o cu observatia lui Karl Weierstrauss (1815-1897):”un matematician care nu-i cat de cat poet, nu poate fi matematician desavarsit”. Din acest citat se desprinde faptul ca un adevar matematic este plin de aceeasi armonie interioara ca si o poezie adevarata, fiindca amandoua cer, in forme diferite , imaginatie si intuitivitate si nici una dintre ele nu se poate infaptui fara vocatie,inspiratie si, mai ales, daruire de sine.

 

Pentru o atare petrecere nu se cere vocatie,ci numai interes, curiozitate stiintifica si, poate, acea pasiune pe care o pun cei hotarati sa urce muntele pana in pisc,stiind ca truda le va fi rasplatita, “cu varf si indesat”, de privelistea maiestuasa si clara , singura in stare sa sugereze nesfarsitul, infinitul in toata splendoarea lui.Si, as mai adauga, pentru acei cativa care vor simti in sufletul lor vibratia vocatiei,si manati de talent vor gasi,pest ani,calea marilor descoperiri, cateva cuvinte pe care le-am retinut din destainuirea savantului sovietic Alexandr M. Prohanov, distins cu Premiul Nobel in anul 1964:”Bucuria care inunda interiorul fiintei tale consta in aceea ca simti cum cele mai ascunse taine ale naturii ti se dezvaluie, in fata ochilor se infatiseaza un sens si o ordine unde, pana la tine, nimeni nu a mai putut sa le descopere”.

Daca in viata noastra ,de zi cu zi, nu ne putem desparti de poezie si arta , cu atat mai putin ne putem instraina de matematici. In afara de socotelile zilnice,de numaratul banilor pentru tramvai si autobuz, de numerele de telefon si de celelalte numere care nu lipsesc aproape din nici una dintre conversatiile noastre, matematicile au patruns, ca aerul , in toate formele vietii moderne.Toate obiectele care ne atrag atentia isi exprima fiinta sau frumusetea prin forme,prin volume,prin proportii sau prin modelele care ascund vechiul in combinari noi. Si aici se manifesta o noua apropiere dintre matematica si poezie.
In poezie ca si in matematica gasim mereu combinari noi, neasteptate si ingenioase, de idei, de adevaruri, de rezultate.
De la problemele practice cu primele numere inventate de omul primitiv, matematicienii greci au trecut la altele , tot cu numere, dar de natura abstracta, teoretica.Pe ei nu-i mai satisfaceau sa rezolve problemele care sa le arate ce cantitate , ce suprafata, ce volum sau ce capacitate are un corp dat, ci se intrebau ce proprietate are acest numar abstract si prin ce se deosebeste el de altul? Ca sa luam un caz concret, numerele 4,6,21,23, de pilda,nu mai erau pentru ei pur si simplu numere, asa cum fusesera pentru toti inaintasii lor, mesteri in ale calculului:egipteni, babilonieni si altii.Ei au gasit, spre marea lor bucurie si surpriza, ca , in timp ce numerele 4, 6, 21 apar ca produse de doi factori: 4=2×2, 6=2×3,
21=3×7, numarul 23 nu se desface in alti factori decat daca se are in vedere si 1! Au inteles atunci ca primele 3 numere sunt numere compuse, iar al patrulea este numar prim, si s-au apucat sa cearna numerele ca faina prin sita! Cele prime au ramas in ciurul lui Eratostene, cele compuse au trecut!S-au jucat, si joaca aceasta i-a delectat tot asa de mult cum ii delecta o reprezentare a unei comedii sau tragedii,sau jocurile olimpice. Am ales numai un exemplu dintr-o mie asa, ca sa-ti incerc curiozitatea, draga cititorule.Vei alerga oare la biblioteca din cartier, la cea de la scoala sau la locul de munca ca sa-ti cauti urmarea?Aceasta depinde numai de tine.

“Citat din:Vechi si nou in matematica de Florica T. Campean”

Metode particulare folosite in geometrie pentru rezolvarea problemelor (Metoda reducerii la absurd)

Metodele particulare sunt acelea care se pot folosi in rezolvarea unui numar restrans de probleme. De multe ori, metodele particulare conduc mai usor la solutia problemei decat analiza si sinteza, care in unele cazuri sunt foarte greu de aplicat. Dintre metodele particulare amintim:

1.Metoda reducerii la absurd;
2.Metoda inductiei complete;
3.Probleme de constructii geometrice;
4.Probleme de locuri geometrice;
5.Metode de rezolvare a problemelor de coliniaritate;
6.Metode de rezolvare a problemelor de concurenta;
7.Metoda geometriei analitice;
8.Metoda calculului vectorial;
9.Metoda planului complex;

1.Metoda reducerii la absurd

Metoda reducerii la absurd este folosita si in geometrie pentru demonstrarea unor teoreme sau a unor probleme care au caracter teoretic. In matematica, pentru a stabili valoarea de adevar a unei propozitii matematice, folosim doua feluri de demonstratii:demonstratia directa si demonstratia indirecta.Numim demonstratie directa un sir de implicatii (silogisme) care se sprijina direct pe adevaruri stabilite in prealabil si care conduc in mod direct la concluzia dorita sau la solutia problemei.Dar acest lucru nu este intotdeauna posibil, astfel ca in unele cazuri este mai usor sa demonstram reciproca contrarei propozitiei initiale. In aceste cazuri avem de-a face cu o demonstratie indirecta, metoda numindu-se metoda reducerii la absurd.

La baza acestei metode sta legea tertului exclus, una din legile fundamentale ale logicii clasice, care se enunta astfel:Din doua propozitii contradictorii, una este adevarata, cealalta falsa, iar a treia posibilitate nu poate exista.
Cand la doua propozitii contradictorii aplicam legea tertuluyi exclus, este suficient sa stabilim ca una din ele este falsa pentru a deduce ca cealalta este adevarata.Asadar din regula implicatiei inverse stim ca are loc echivalenta (p=>q <=>(q1=>p1) . Uneori demonstratia teoremei directe este mai dificila decat demonstratia teoremei inverse, numita reciproca a contrarei (sau contrara reciprocei).Metoda reducerii la absurd consta in demonstrarea acestei de-a lungul teoremei.

Practic, aceasta metoda se aplica astfel:se presupune ca ceea ce trebuie sa demonstram nu este adevarat, cu alte cuvinte, se neaga concluzia teoremei date.Apoi se efectueaza, pornind de la ipoteza teoremei si ipoteza contrara reciprocei, un sir de rationamente concrete si in urma acestor rarionamente corecte si in urma acestor rationamente se fac o serie de deductii logice, care scot in evidenta faptul ca presupunerea facuta nu este posibila si ramane cu adevarat concluzia teoremei date .

La geometrie, metoda reducerii la absurd se aplica, cu succes, pentru a demonstra propozitii matematice(teoreme) incepand chiar din clasa a VI-a, cand elevii intalnesc notiunea de teorema.Pe parcursul anilor de gimnaziu si liceu se intalnesc multe situatii de aplicare a acestei teoreme, atata la geometrie, cat si la aritmetica, algebra, trigonometrie si analiza matematica.Metoda reducerii la absurd se intrebuinteaza de mai multe ori in demonstrarea teorenmelor reciproce.

Daca ti-a placut acest articol, daca doresti sa afli mai multe despre cursurile de dezvoltare personala si meditatii la matematica , cum te pot ajuta si de ce sunt utile , astept un mesaj pe email.:contact@meditatii.eu.
Inscrie-te la newsletter, vei primi informatii utile si oferte speciale, dedicate numai celor care se aboneaza.

„Citat din: Metode de rezolvarea problemelor de geometrie  de Irina Cretu”

Isaac Newton si analiza matematica

Ce este analiza matematica ?

Analiza matematica se ocupa cu vitezele instantanee de variatie – cat de repede variaza o anumita cantitate chiar in acest moment ? Ca sa luam un exemplu fizic: un tren se deplaseaza pe o cale ferata; cat de repede se misca el chiar acum? Analiza matematica are doua ramuri principale:calculul diferential si calculul integral.

Calculul diferential ofera metode de calcul al vitezelor de variatie si are numeroase aplicatii geometrice, in particular gasirea tangentelor la curbe. Calculul integral procedeaza invers: data fiind viteza de variatie a unei anumite cantitati, el determina cantitatea insasi. Intre aplicatiile geometrice ale calculului integral se numara calculul ariilor si volumelor. Poate ca cea mai semnificativa descoperire e aceasta neasteptata conexiune intre doua probleme de geometrie clasica aparent fara legatura: determinarea tangentelor la curba si determinarea ariilor.

Inventarea analizei matematice

Inventarea analizei matematice a fost rezultatul cercetarilor anterioare legate de probleme aparent disparate, dar avand o unitate ascunsa. Printre ele se numara calculul vitezei instantanee a unui obiect in miscare cunoscand distanta parcursa de el la orice moment de timp, gasirea tangentei la o curba, gasirea lungimii unei curbe, gasirea valorilor maxima si minima ale unei cantitati variabile, gasirea ariei unei figuri plane si a volumului unui corp tridimensional.Anumite idei si exemple importante au fost aduse de Fermat, Decartes si un englez mai putin cunoscut, Isaac Barrow, dar metodele erau valabile doar pentru probleme particulare. Se simtea nevoia unei metode generale.

Principalii creatori ai analizei matematice au fost Gottfried Wilhelm Leibniz si Isaac Newton

Newton a copilarit la o ferma din satucul Woolsthorpe din Lincolnshire.Tatal lui murise cu doua luni inainte de nasterea sa iar mama lui administra ferma.A invatat la scoala din localitate , fara sa dovedeasca alt talent decat indemanarea in manevrarea jucariilor mecanice. O data a construit un balon cu aer cald si l-a testat cu pisica familiei drept pilot; nici balonul, nici pisica n-au mai fost vazute vreodata. A intrat la Trinity College din Cambridge, cu rezultate destul de bune la examenul de admitere – in afara geometriei.Ca student, n-a facut mare impresie in primii ani de studiu.

Apoi in 1665, marea ciuma a inceput sa devasteze Londra si zonele invecinate, iar studentii au fost trimisi acasa inainte ca acelasi lucru sa se intample la Cambridge. Intors la ferma familiala, Newton a inceput sa mediteze mult mai profund la temele stiintifice si matematice.

Gravitatia

In anii 1665-1666 a conceput legea gravitatiei pentru a explica miscarea planetelor,a elaborat legile mecanicii pentru a explica si analiza miscarea oricarui corp sau particule, a inventat atat calculul diferential, cat si cel integral si a facut mari progrese in optica. Ca de obicei, nu-si publica nici una din lucrari, intorcandu-se linistit la Trinity pentru a-si lua licenta si a fi ales fellow al colegiului.
A obtinut apoi postul de profesor lucasian de matematica, dupa demisia din 1669 a predecesorului sau, Barrow.

Gottfried Wilhelm Leibniz si Isaac Newton au fost creatorii analizei matematice .
Doi dintre prietenii sai, Isaac Barow si Edmond Halley, I-au recunoscut remarcabilele inzestrari si l-au incurajat sa-si publice rezultatele.Lui Newton nu-i placea sa fie criticat, iar cand , in 1672, si-au publicat ideile despre lumina, lucrarea sa a declansat o furtuna de critici, ceea ce i-a accentuat retinerea de a-si incredinta gandurile tiparului.A continuat totusi sa publice sporadic si a scris doua carti.Si-a dus mai departe ideile despre gravitatie, iar in 1684 Halley a incercat sa-l convinga sa-si publice rezultatele.Dar pe langa aversiunea lui Newton fata de critica mai exista un obstacol tehnic.

Fusese nevoit sa modeleze planetele ca particule punctiforme, cu masa nenula, dar cu volumul nul, ceea ce el simtea ca este nerealist si va va provoca obiectii.Ar fi vrut sa inlocuiasca punctele nerealiste prin sfere pline, dar nu putea demonstra ca atractia gravitationala a unei sfere e aceeasi cu cea a unei particule punctiforme de aceeasi masa.
In 1686 a reusit sa umple aceasta lacuna, iar Principia a vazut lumina tiparului in 1687. Lucrarea continea multe idei noi.Cele mai importante erau legile matematice ale miscarii, extinzand rezultatele lui Galilei, si gravitatia, bazata pe legile gasite de Kepler.

Principala lege de miscare a lui Newton (mai exista si altele) spune ca acceleratia unui corp aflat in miscare inmultita cu masa lui este egala cu forta care actioneaza asupra corpului.viteza este derivata spatiului, iar acceleratia este derivata vitezei.
Legea gravitatiei spune ca toate particulele de materie se atrag reciproc cu o forta proportionala cu masele lor si invers proportionala cu patratul distantei dintre ele. De exemplu, forta cu care Pamantul este atras de Luna ar deveni de patru ori mai mica daca luna ar fi impinsa la o distanta de doua ori mai mare, sau de noua ori mai mica daca distanta s-ar tripla.Din nou, deoarece legea se refera la forte, ea implica derivata a doua a spatiului.
Newton a dedus aceasta lege din cele trei legi ale miscarii planetare stabilite de Kepler.

Deducerea publicata de el era o capodopera de geometrie euclidiana clasica.Newton a ales acest stil de prezentare deoarece el implica o matematica familiara, si deci nu era usor de criticat.Dar mai multe aspecte atinse in Principia isi datoreaza geneza inventiei newtoniene inca nepublicate a analizei matematice.
Unul dintre primele sale studii pe aceasta tema a fost o lucrare intitulata Asupra analizei prin intermediul ecuatiilor cu un numar infinit de termeni , pe care a prezentat-o catorva prieteni in 1669. In limbaj modern, el se intreba care este ecuatia unei functii f (x), daca aria de sub graficul ei este de forma x.
In 1671 a scris un tratat extins, Metoda fluxiunilor si a seriilor infinite .Prima sa carte de analiza matematica a fost publicata in 1711;a doua a aparut in 1736.E limpede ca pe la 1671 Newton ajunsese la ideile fundamentale ale analizei matematice.
Criticii acestui procedeu, in special episcopul George Berkley in cartea sa din 1734, Analistul, discurs adresat unui matematician necredincios, au aratat ca este ilogic sa imparti numaratorul si numitorul la 0,daca ulterior 0 este adus la O.
Intr-adevar, procedeul ascunde faptul ca fractia este in realitate 0/0, fractie ce nu are sens.

La ce ne ajuta analiza matematica

Una dintre primele aplicatii ale calculului diferential si integral pentru intelegerea fenomenelor naturale a fost legata de problema formei unui lant lasat sa atarne.
Unii matematicieni credeau ca raspunsul este o parabola, altii nu erau de acord.In 1691 Leibniz, Christian Huygens si Bernoulli au publicat fiecare cate o propunere de solutie .Cea mai clara era a lui Bernoulli. El a scris o ecuatie diferentiala care descria pozitia lantului, bazata pe mecanica newtoniana si pe legile de miscare ale lui Newton.
S-a dovedit ca solutia nu era o parabola, ci o curba numita lantisor. Cablurile podurilor suspendate sunt insa parabolice. Diferenta apare deoarece aceste cabluri sustin atat greutatea podului, cat si propria lor greutate. Si acest lucru poate fi demonstrat folosind calculul diferential.
Ecuatiile diferentiale sunt omniprezente in stiinta: sunt de departe mijlocul cel mai raspandit de modelare a sistemelor naturale. Se folosesc, de pilda, pe larg pentru a calcula traiectoriile sondelor spatiale, cum ar fi misiunea Mariner catre Marte, cele doua nave Pioneer care au explorat sistemul solar si ne-au transmis imagini atata de minunate ale planetelor Jupiter, Saturn, Uranus si Neptun, sau vehiculele robot cu sase roti Spirit si Opportunity, care au cercetat Planeta Rosie.
Misiunea Cassini, care exploreaza planeta Saturn si satelitii ei, este un alt exemplu.Intre descoperirile

ei se numara existenta lacurilor de metan si etan lichid pe satelitul Titan al lui Saturn. Desigur, calculul diferential nu e unica tehnica folosita de misiunile spatiale – dar fara el aceste nave n-ar fi fost niciodata lansate.
Dintr-o perspectiva mai practica, orice avion care zboara,orice automobil care parcurge un drum, orice pod suspendat si orice constructie rezistenta la cutremure isi datoreaza partial proiactarea calculului diferential. Pana si descrierea modului in care variaza numeric populatiile de animale provine din ecuatiile diferentiale.Acelasi lucru este valabil pentru raspandirea epidemiilor,unde modulele analitice sunt folosite pentru a planifica cea mai eficienta cale de a interveni si de a impiedica o raspandire dezastruoasa.Un model recent pentru epidemia de febra aftoasa in Marea Britanie a dovedit ca strategia adoptata nu era optima.

Daca ti-a placut acest articol, daca doresti sa afli mai multe despre cursurile de dezvoltare personala si meditatii la matematica , cum te pot ajuta si de ce sunt utile , astept un mesaj pe email.:contact@meditatii.eu.
Inscrie-te la newsletter, vei primi informatii utile si oferte speciale, dedicate numai celor care se aboneaza.
„Citat din: Imblanzirea Infinitului de Ian Stewart”